Giải bài 2: Cực trị của hàm số

A. Lí thuyết

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$) và điểm $x_{0} \in (a,b)$

• Nếu tồn tại số h>0 sao cho $f(x) <f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_{0}$.
• Nếu tồn tại số h>0 sao cho $f(x) >f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_{0}$.

Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại $x_{0}$ thì

• $x_{0}$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số
• $f(x_{0})$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
• $M(x_{0},f(x_{0}))$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x_{0}$ thì $f'(x_{0})=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

III. Quy tắc tìm cực trị

Cách 1: 

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cách 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính $f'(x)$. Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_{i}$ (i=1,2,…,n) là các nghiệm của nó.
• Bước 3: Tính $f”(x)$ và $f”(x_{i})$.
• Bước 4: Dựa vào dấu của $f”(x_{i})$ suy ra tính cực trị của điểm $x_{i}$

Cụ thể $f”(x_{i}>0$ thì $x_{i}$ là điểm cực tiểu và $f”(x_{i})<0$ thì $x_{i}$ là điểm cực đại.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $$f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+6.$$

Giải: TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có $y’=x^{3}-4x=x(x^{2}-4) \Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=0 \hfill \cr x=-2 \hfill \cr x=-2 \hfill \cr} \right.$

Cách 1: 

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.

Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại $x=0$ và $f_{CĐ}=f(0)=6$.

Cách 2: Ta có $f”(x)=3x^{2}-4$

$f(\pm 2)=8>0$ nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.

$f”(0)=-4<0$ nên x=0 là điểm cực đại.

Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.

Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại $x=0$ và $f_{CĐ}=f(0)=6$.

Chú ý: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và $f_{CĐ}=f(0)=6$ tuy nhiên hàm số không có GTLN.