A. Tổng hợp kiến thức
I. Hàm số lũy thừa
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m \in Z$, $n \in N^{*}$. Lũy thừa của a với số mũ r là số $a^{r}$ xác định bởi:
| $a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ |
Lũy thừa với số mũ vô tỉ
- Ta gọi giới hạn của dãy số $a^{r_{n}}$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$.
- Ký hiệu: $a^{\alpha}$
| $a^{\alpha }=\lim_{n \to +\infty }a^{r_{n}}$ với $\alpha =\lim_{n \to +\infty }r_{n}$ |
Chú ý: $1^{\alpha}=1, (\alpha \in R)$
II. Hàm số mũ
Định lí 1
- Hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm tại mọi x .
| $(e^{x})’=e^{x}$ |
- Với hàm hợp, ta có công thức đạo hàm tương tự:
| $(e^{u})’=u’e^{u}$ |
Định lí 2
- Hàm số $y=a^{x}$, $a>0,a\neq 1$ có đạo hàm tại mọi x.
| $(a^{x})’=a^{x}\ln a$ |
- Với hàm hợp, ta có:
| $(a^{u})’=a^{u}\ln a.u’$ |
III. Hàm số Lôgarit
Định lí 3
- Hàm số $y=\log_{a}x$ ($a>0,a\neq 1$) có đạo hàm tại mọi $x>0$
| $(\log_{a}x)’=\frac{1}{x \ln a}$ |
- Đặc biệt: $(\ln x)’=\frac{1}{x}$
- Với hàm hợp, ta có công thức tương tự:
| $(\log_{a}u)’=\frac{u’}{u \ln a}$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 3:Trang 90 – sgk giải tích 12
Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Xem lời giải
Câu 4:Trang 90 – sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\frac{1}{3^{x}-3}$
b) $y=\log\frac{x-1}{2x-3}$
c) $y=\log\sqrt{x^{2}-x-12}$
d) $y=\sqrt{25^{x}-5^{x}}$
Xem lời giải
Câu 5:Trang 90 – sgk giải tích 12
Biết $4^{4}+ 4^{-x} = 23$.
Hãy tính: $2^{x} + 2^{-x}$
Xem lời giải
Câu 6:Trang 90 – sgk giải tích 12
Cho $\log_{a}b=3$,$\log_{a}c=-2$ . Hãy tính $\log_{a}x$ với:
a) $x=a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
b) $x=\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$
Xem lời giải
Câu 7:Trang 90 – sgk giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a) $3^{x+4} + 3.5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$
b) $25^{x}– 6.5^{x} + 5 = 0$
c) $4.9^{x} + 12^{x} – 3.16^{x} = 0$
d) $\log_{7}(x-1)\log_{7}x = \log_{7}x$
e) $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$
g) $\log_{\frac{x+8}{x-1}}=\log x$
Xem lời giải
Câu 8: Trang 90 – sgk giải tích 12
Giải các bất phương trình:
a) $2^{2x-1}+ 2x^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$
b) $(0,4)^{x} – (2,5)^{x+1} > 1,5$
c) $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<1$
d) $\log^{2}_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6$
