A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm lũy thừa
1. Khái niệm
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
Chú ý: Trong biểu thức $a^{n}$:
- a gọi là cơ số
- n gọi là số mũ
- Với a khác 0, ta có:
- $a^{0}=1$
- $a^{-n}=\frac{1}{n}$
- Đặc biệt: $0^{0}$; $0^{-n}$ không có ý nghĩa.
2. Phương trình $x^{n}=b$
Biện luận số nghiệm của phương trình $x^{n}=b$
TH n lẻ:
- Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.
TH n chẵn:
- $b<0$ => phương trình vô nghiệm.
- $b=0$ => phương trình có một nghiệm $x=0$.
- $b>0$ => phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương$n\geq 2$ . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n}=b$.
Ví dụ: $3^{2}=9$
Khi đó:3 là căn bậc 2 của 9.
Biện luận số nghiệm của phương trình $x^{n}=b$:
TH n lẻ và $b\in R$
- Phương trình có duy nhất một căn bậc n của b.
- Ký hiệu: $\sqrt[n]{b}$
TH n chẵn
- $b<0$ => Không tồn tại căn bậc n của b.
- $b=0$ => Có một căn bậc n của b là số 0.
- $b>0$ => Có hai căn trái dấu, là $\pm\sqrt[n]{b}$.
Các tính chất của căn bậc n:
| $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$ $\sqrt[n]{a^{n}}=\left\{\begin{matrix}a ( n lẻ) & \\ \left | a \right | (n chẵn) & \end{matrix}\right.$ $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$ |
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m \in Z$, $n \in N^{*}$. Lũy thừa của a với số mũ r là số $a^{r}$ xác định bởi:
| $a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ |
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
- Ta gọi giới hạn của dãy số $a^{r_{n}}$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$.
- Ký hiệu: $a^{\alpha}$
| $a^{\alpha }=\lim_{n \to +\infty }a^{r_{n}}$ với $\alpha =\lim_{n \to +\infty }r_{n}$ |
Chú ý: $1^{\alpha}=1, (\alpha \in R)$
II.Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là những số thực dương; $\alpha$, $\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
| $a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ $\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha -\beta }$ $(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$ $(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }b^{\alpha }$ $(\frac{a}{b})^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$ Nếu $a>1$ => $a^{\alpha }>a^{\beta }<=> \alpha >\beta $ Nếu $a<1$ => $a^{\alpha }<a^{\beta }<=> \alpha >\beta $ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 55- sgk giải tích 12
Tính:
a) $9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}$
b) $144^{\frac{3}{4}}.9^{\frac{3}{4}}$
c) $(\frac{1}{16})^{-0,75}+0,25^{\frac{-5}{2}}$
d) $(0,04)^{-1,5}-(0,125)^{-\frac{2}{3}}$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 55- sgk giải tích 12
Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a) $a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}$
b) $b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b}$
c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}$
d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 56- sgk giải tích 12
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) $1^{3,75};2^{-1};(\frac{1}{2})^{-3}$
b) $98^{0};(\frac{3}{7})^{-1};32^{\frac{1}{5}}$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 56- sgk giải tích 12
Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}})}$
b) $\frac{b^{\frac{1}{5}}(\sqrt[5]{b^{4}}-\sqrt[5]{b^{-1}})}{b^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}})}$
c) $\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{b^{2}}}$
d) $\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 56- sgk giải tích 12
Chứng minh rằng:
a) $(\frac{1}{3})^{2\sqrt{5}}<(\frac{1}{3})^{3\sqrt{2}}$
b) $7^{6\sqrt{3}}>7^{3\sqrt{6}}$
