Giải bài 2: Hàm số lũy thừa

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm chung

• Cho hàm số $y=x^{a}, a\in R$ gọi là hàm số lũy thừa bậc a.

Cách xác định điều kiện, tập xác định D:

• Với $a>0, a\in Z => D= R$.
• Với $a<0, a\in Z$ => $D$=$R$\{0}
• Với $a\notin Z => D=(0;+\infty )$

II. Đạo hàm hàm số lũy thừa

Tổng quát

• Hàm số $y=x^{a},( a\in R)$ luôn có đạo hàm với mọi $x>0$.

Chú ý: Với bài toán về hàm hợp, ta áp dụng công thức tương tự:

Ví dụ minh họa:
Tính đạo hàm của hàm sau: $(x^{2}+2x-5)^{3}$

Áp dụng công thức đạo hàm với hàm hợp: $(u^{a})’=au^{a-1}.u’$ , ta có:

$((x^{2}+2x-5)^{3})’=3.(x^{2}+2x-5)^{2}.(2x+2)$

III. Khảo sát hàm số lũy thừa $y=x^{a}$

Tương tự bài toán khảo sát hàm số đã học ở chương 1, khảo sát hàm số lũy thừa $y=x^{a}$ cũng tuân thủ đầy đủ các bước thực hiện đó.

• Bước 1: Tập xác định ( hay còn gọi là tập khảo sát).
• Bước 2: Xét sự biến thiên( biểu diễn bằng bảng biến thiên hàm số).
• Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số đã cho( dựa vào bảng biến thiên vừa vẽ).

Cụ thể: 

• Bảng biến thiên:

• Đồ thi:

• Chú ý: Khi khảo sát hàm lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.