Giải tích lớp 12

Giải bài 1: Nguyên hàm

Bài học với nội dung kiến thức về Nguyên hàm. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, ConKec sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

  • Cho hàm số f(x) xác định trên K.
  • Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Định lí 1

Bạn đang xem bài: Giải bài 1: Nguyên hàm

  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lí 2

  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
  • Ký hiệu: $\int f(x)dx=F(x)+C$

                         Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).

2. Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

$(\int f(x)dx)’=f(x)$

$\int f'(x)dx=f(x)+C$

Tính chất 2

$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

Tính chất 3

$\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Chú ý: Sự tồn tại của nguyên hàm

  • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số 

Định lí 1

Bạn đang xem bài: Giải bài 1: Nguyên hàm

  • Nếu $\int f(u)du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$

Hệ quả

$\int f(ax+b)dx\frac{1}{a}F(ax+b)+C,(a\neq 0)$

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2

  • Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:
$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$
  • Hay: $\int udv=uv-\int vdu$  với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$

B. Bài tập & Lời giải

Câu 1:Trang 100 – sgk giải tích 12

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$

b) $\sin 2x$ và $\sin^{2} x$

c) $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$ và $(1-\frac{4}{x})e^{x}$

Xem lời giải

Câu 2:Trang 100 – sgk giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) $f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}$

b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$

c) $f(x)=\frac{1}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}$

d) $f(x)=\sin 5x.\cos 3x$

e) $f(x)=\tan^{2}x$

g) $f(x)=e^{3-2x}$

h) $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}$

Xem lời giải

Câu 3: Trang 101 – sgk giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a) $\int (1-x)^{9}dx$  đặt $u=1-x$

b) $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$  đặt $u=1+x^{2}$

c) $\int \cos ^{3}x\sin xdx$  đặt t=\cos x$

d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$  đặt $u=e^{x}+1$

Xem lời giải

Câu 4: Trang 101 – sgk giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a)  $\int x\ln (1+x)dx$

b) $\int (x^{2}+2x-1)e^{x}dx$

c) $\int x\sin x(2x+1)dx$

d) $\int (1-x)\cos xdx$

 

Xem lời giải

Trích nguồn: THPT CHU VĂN AN
Danh mục: Giải tích lớp 12

Nguyễn Thị Hương Thủy

Cô giáo Nguyễn Thị Hương Thủy tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hiện đang tham gia giảng dạy môn Ngữ Văn tại trường THPT Chu Văn An. Cô có 20 năm kinh nghiệm giảng dạy, dẫn dắt nhiều thế hệ học sinh đạt những thành tích cao và đặt chân vào các trường đại học danh tiếng. Cô gặt hái được rất nhiều thành công trong sự nghiệp: giải Nhì trong cuộc thi giáo viên giỏi do thành phố Hà Nội tổ chức, tham gia giảng dạy đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia.
Back to top button