I. Phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm y’;
- Tìm các điểm tại đó y’=0 hoặc không xác định;
- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
Tìm cực trị.
Tìm giới hạn tại vô cực, các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên.
Bước 3: Vẽ đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
ll. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
1. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $(a \neq 0)$
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-4$.
Giải: TXĐ $D=\mathbb{R}$.
- Ta có $y’=3x^{2}+6x=3x(x+2)\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2\hfill \cr x=0 \hfill \cr} \right.$
Trên các khoảng $(-\infty,-2)\cup (0,+\infty)$, y’>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (-2,0), y'<0 nên hàm số nghịch biến.
- Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại $x=-2, y_{CĐ}=y(-2)=0$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0, y_{CT}=y(0)=-4$.
- Các giới hạn tại vô cực
$\lim_{x \to -\infty}y=\lim_{x \to -\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=-\infty$
$\lim_{x \to +\infty}y=\lim_{x \to +\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=+\infty$
Bảng biến thiên
- Đồ thị
Giao với Ox, y=0 nên $x^{3}+3x^{2}-4=(x-1)(x+2)^{2}=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2 \hfill \cr x=1 \hfill \cr} \right.$.
Giao với Oy, x=0 nên y=-4.
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a \neq 0)$
2. Hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ $ (a \neq 0)$
Dạng của đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ ($a\neq 0$)
3. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)
Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)
Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 43 – sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) $y = 2 + 3x – x^{3}$
b) $y = x^{3} + 4x^{2}+ 4x$
c) $y = x^{3} + x^{2} + 9x$
d) $y = -2x^{3} + 5$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 43 – sgk giải tích 12
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) $y = -x^{4} + 8x^{2} – 1$
b) $y = x^{4} – 2x^{2} + 2$
c) $y=\frac{1}{2}x^{4}+x^{2}-\frac{3}{2}$
d) $y=-2x^{2}-x^{4}+3$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 43 – sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:
a) $y=\frac{x+3}{x-1}$
b) $y=\frac{1-2x}{2x-4}$
c) $y=\frac{-x+2}{2x+1}$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 44 – sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) $x^{3} – 3x^{2} + 5 = 0$
b) $-2x^{3}+ 3x^{2} – 2 = 0$
c) $2x^{2} – x^{4} = -1$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 44 – sgk giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: $y = -x^{3} + 3x + 1$
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: $x^{3} – 3x + m = 0$
Xem lời giải
Câu 6: Trang 44 – sgk giải tích 12
Cho hàm số : $y=\frac{mx-1}{2x+m}$
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Xem lời giải
Câu 7: Trang 44 – sgk giải tích 12
Cho hàm số : $y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m$
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi $m = 1$.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.
Xem lời giải
Câu 8: Trang 44 – sgk giải tích 12
Cho hàm số: $y = x^{3} + (m + 3)x^{2}+ 1 – m$ (m là tham số) có đồ thị ($C_{m}$).
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là $x = -1$.
b) Xác định m để đồ thị ($C_{m}$) cắt trục hoành tại $x = -2$.
Xem lời giải
Câu 9: Trang 44 – sgk giải tích 12
Cho hàm số: $y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}$ ( m là tham số ) có đồ thị (G).
a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Xét dấu các hệ số của hàm bậc bốn trùng phương, phân tích đồ thị hàm số.
Xem lời giải
Dạng 2: Xét dấu các hệ số của hàm bậc ba, phân tích đồ thị hàm số.
Xem lời giải
Dạng 3: Xét dấu các hệ số của hàm bậc nhất trên bậc nhất, phân tích đồ thị hàm số.
