Giải bài 4: Đường tiệm cận

A. Lí thuyết

I. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a,+\infty), (-\infty;b), (-\infty, +\infty))$. Đường thẳng $y=y_{0}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• $\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_{0}$
• $\lim_{x \to -\infty} f(x)=y_{0}$.

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+1$ xác định trên khoảng $(0,+\infty)$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ vì $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)=1$

II. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=+\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=+\infty$

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số $$y=\frac{x-1}{x+2}.$$

Giải: Vì $\lim_{x \to -2^{+}}\frac{x-1}{x+2}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của (C).

Vì $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x-1}{x+2}=1$ nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của (C).