Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng – Toán lớp 9

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức mà các em học ở ngay chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Có nhiều dạng bài tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,… Tuy nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một số bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

• 159601385514d4swy24p 1607563701 1628739158 1

• 1596013857byouemg74f 1607563702 1628739158 3

• 1596013859yx4quw2scl 1607563702 1628739158 1

• 1596013860z9xvos9oy3 1607563702 1628739158 1

• 1596013862gkzz7xyu40 1607563702 1628739158 1

• 1596013864ecsny1tfkf 1607563703 1628739159 1

• 1596013866a15fyqb8bh 1607563703 1628739159 1

• 1596013867exm10t9900 1607563703 1628739159 1

• 1596013869v7byzfmhng 1607563703 1628739159 1

• 1596013870q3lu9o09a9 1607563704 1628739160 1

• 1596017399ctrprudoep 1607563704 1628739160 1

• 1596017400v2edya0udp 1607563704 1628739160 1

II. Cách giải Phương trình có chứa dấu căn

1. Giải phương trình chứa căn thức dạng: 1596013872kyz6jkhe71 1607563704 1628739160 1 với e ≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp: 1596013874gn0e4w4uo0 1607563705 1628739160 1 hoặc 15960138752kgdshme9m 1607563705 1628739161 1 thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a)1596013877yminkypfe6 1607563705 1628739161 1     b) 1596013879lujhbhcebp 1607563705 1628739161 1

c)1596013880kcfgjtn47y 1607563706 1628739161 1     d)1596013882engdarokg9 1607563706 1628739161 1

° Lời giải:

a)1596013877yminkypfe6 1607563705 1628739161 1 (*)

– Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

15960138851cpe6vszsv 1607563706 1628739162 1

– Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b) 1596013879lujhbhcebp 1607563705 1628739161 1 (*)

– Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

1596013889nmglfbknre 1607563707 1628739162 1

– Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c)1596013880kcfgjtn47y 1607563706 1628739161 1  (*)

– Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

1596013893yfxgwje1dt 1607563707 1628739163 1

1596013894y0l534gdhm 1607563708 1628739163 1 1596013896p6r34acghy 1607563708 1628739163 1

– Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d)1596013882engdarokg9 1607563706 1628739161 1 (*)

– Vì (1 – x)2 ≥ 0 ∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.

1596013899pxescnu1bw 1607563708 1628739163 1

15960139004n9ui9k620 1607563708 1628739164 1

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 1596017402t9z658plwh 1607563709 1628739164 1     b) 1596017403frceiu6894 1607563714 1628739164 1

° Lời giải:

a) 1596017402t9z658plwh 1607563709 1628739164 1  (*)

– Điều kiện: 1596017406wgic9q0xnl 1607563715 1628739164 1

– Khi đó bình phương 2 vế ta được:

1596017408giegrofnd7 1607563715 1628739164 1 15960174091b6ar7l2qm 1607563715 1628739165 1

– Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2.

b) 1596017403frceiu6894 1607563714 1628739164 1 (*)

– Điều kiện:1596017412q3seebm1k7 1607563716 1628739165 1

– Khi đó bình phương 2 vế ta được:

1596017414n7z1g8flwl 1607563716 1628739165 1 15960174091b6ar7l2qm 1607563715 1628739165 1

– Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) Trường hợp: 1596017417lmj0l3v6ux 1607563716 1628739166 1 (*) thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

1628739168pg8n8ejc75 11628739171drv5kbdxzn 1

+) Nếu 1596017417lmj0l3v6ux 1607563716 1628739166 1 không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

– Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

– Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1596017424lyd0yej0xb 1607563717 1628739174 1 (*)

° Lời giải:

– Vì: 2x2 – 8x + 8 = 2(x2 – 4x + 4) = 2(x – 2)2 nên ta có:

1596017425ugmuhkr2cq 1607563717 1628739174 1

159601742727ppvus14s 1607563717 1628739174 1 15960174297ujamen1uj 1607563718 1628739175 1

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 15960204848fq39x8lvl 1607563718 1628739175 1 (*)

° Lời giải:

– Ta thấy: x2 – 4x + 6 = x2 – 4x + 4 + 2 = (x – 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2nên ta thực hiện như sau:

– Điều kiện: x2 – 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x – 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.

– Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x – 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x – 2)= 9 1596020486fshvm6h0ur 1607563718 1628739175 1

– Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 1596030371xo9zrac8ul 1607563718 1628739175 1

* Phương pháp giải:

– Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 1596030373lxki1agvpb 1607563719 1628739175 1

– Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

 ¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

 ¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

– Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1596030375yqejkmjzfa 1607563719 1628739181 1

° Lời giải:

– Ta có: 1596030375yqejkmjzfa 1607563719 1628739181 1

15960303795mkc7w0i6z 1607563719 1628739181 1

1596030380hmx3tlgfbz 1607563719 1628739186 1

– Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1596030382tk6v584ej5 1607563720 1628739186 1 (*)

° Lời giải:

– Ta có: 1596030382tk6v584ej5 1607563720 1628739186 1

1596030385vb4q9ziids 1607563720 1628739187 1

– Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau:1596030387780vsft1o5 1607563720 1628739187 1

° Lời giải:

– Điều kiện: 15960303934vrvfht976 1607563721 1628739187 1

– Bình phương 2 vế ta được:

2x – 3 = (x – 1)2 ⇔ 2x – 3 = x2 – 2x + 1

⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

– Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

– Phương trình có nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4: Giải phương trình sau:1596080252edp1rvqs6p 1607563721 1628739187 1 (*)

° Lời giải:

– Ta thấy: f(x) = x2 – 5x – 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

– Điều kiện: 1596080253hikbwaycpw 1607563721 1628739188 1 khi đó ta bình phương 2 vế được:

1596080255q2q01r5jd3 1607563721 1628739188 1

1596080257ioc2k7s456 1607563722 1628739188 1

– Kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 1596080259w0j8iuwr7k 1607563722 1628739188 1

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

– Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

– Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình: 1596080260ftagj1omyh 1607563722 1628739189 1 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x ≥ 0.

– Mặt khác, ta thấy: 1596080262yhhj2y0aum 1607563722 1628739189 1 và 159608026401ee32wh32 1607563723 1628739189 1 nên ta có:

1596080266wkm1z49b2i 1607563723 1628739189 1 (**)

– Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu 1596080268s37p7eahwh 1607563723 1628739189 1, ta có:

1596080270fbfrms0h90 1607563723 1628739190 1

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu 1596080272wt8gqk7pbi 1607563723 1628739190 1 , ta có:

1596080274u5ndaz2ubx 1607563724 1628739190 1

– Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.

+) TH3: Nếu 1596080276abqz8ujoqy 1607563724 1628739190 1

+) TH4: Nếu 1596080277qjtprusl8w 1607563724 1628739190 1, ta có:

1596080279utter68ctm 1607563724 1628739191 1

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

* Ví dụ 2: Giải phương trình: 1596080280y3qqc5nlqb 1607563725 1628739191 1

° Lời giải:

– Điều kiện: x ≥ 1

– Nhận thấy: 1596080282nh8zt8lhhg 1607563725 1628739191 1

1596092247kj5tki6hmv 1607563725 1628739191 1

– Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

4. Cách giải một số phương trình chứa căn khác.

i) Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa dấu căn.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1596080285uclyhfz590 1607563725 1628739191 1 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x ≥ 0

Đặt 15960802866fvj86viy9 1607563726 1628739192 1 khi đó ta có pt (*) trở thành:

15960802884b5ffqshme 1607563726 1628739192 1

– Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:

1596080290noemhs048k 1607563726 1628739192 1

1596080291b9544lqugn 1607563726 1628739192 1

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em sẽ học ở nội dung bài chương sau).

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1596080293b5g6wegllo 1607563727 1628739197 1 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: 1596080295cynpdya8fi 1607563727 1628739198 1

 Đặt 15960802976374k898ai 1607563727 1628739198 1, khi đó pt(*) trở thành:

 1596080299y48fvf2t9c 1607563727 1628739198 1

– Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3; với điều kiện 5 – t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 – t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 – 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

– Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

  1596080301ft62dg0ox4 1607563728 1628739203 1

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1596080303ysid2amv0u 1607563728 1628739204 1 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x2 – 2x – 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

1596080306ht1dpaly55 1607563728 1628739204 1

 Đặt 15960803080vz5cdf9p5 1607563728 1628739204 1 khi đó pt(**) trở thành:

 15960803104a4vgl4y9z 1607563729 1628739209 1

– Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 – 2x – 3 = 4 ⇔ x2 – 2x – 7 = 0 ⇔ (x2 – 2x + 1) – 8 = 0.

 1596080311wtcb02i3xu 1607563729 1628739209 1

– Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± 2√2.

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.

– Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: 1596080313bglsi08wkw 1607563729 1628739215 1 (với c,d>0 và c+d=e)

– PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)]2; [h(x)]2 hay [g(x)]2;

* Ví dụ: Giải phương trình sau: 1596080317tk5wsoj49n 1607563729 1628739215 1(*)

° Lời giải:

– Ta nhận thấy:

 1596080318u3thd10bcg 1607563730 1628739215 1

 1596080321hhw3db0d8w 1607563730 1628739220 1

 1596080324iy7wlyp4yu 1607563730 1628739221 1

1596080328b8z1qktvkn 1607563731 1628739221 1

– Do đó: 1596080330sree8b4dql 1607563732 1628739221 1 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 1596080332ko4om798so 1607563732 1628739221 1 15960803342nnb92a5lc 1607563732 1628739221 1

→ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

III. Một số bài tập về phương trình có chứa dấu căn

* Bài 1: Giải các phương trình sau:

a)1596080336fluzf5drq4 1607563732 1628739222 1

b)1596080339qkvpti2vwd 1607563733 1628739222 1

* Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)1596080340le8f18944v 1607563733 1628739222 1

b)1596080342nlmap9bngp 1607563733 1628739222 1

c)1596080343yhove94no6 1607563733 1628739222 1

* Bài 3: Giải các phương trình sau

a)15960803456nrdidsgql 1607563734 1628739223 1

b)15960803478rhi1761m9 1607563734 1628739223 1

c)159608034903h0phcf8j 1607563734 1628739223 1

d)15960803503e72818nue 1607563734 1628739223 1

 

Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình chứa dấu căn ở trên giúp các em hiểu rõ hơn phương pháp giải các dạng toán căn thức này. Qua đó dễ dàng giải các bài toán tương tự khi gặp. Chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button