Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức – Toán 8 chuyên đề

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức cũng là dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm hoặc lớn hơn hay nhỏ hơn 1 số nào đó.

Cụ thể cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức như thế nào? Chúng ta sẽ tìm hiểu qua bài viết dưới đây để 1ua đó vận dụng giải một số bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

I. Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:

i) A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức A

ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhận giá trị k.

Tương tự, cho biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:

i) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.

ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h.

* Lưu ý: Khi làm bài toán tìm GTLN và GTNN học sinh thường phạm phải hai sai lầm sau:

1) Khi chứng minh được i), học sinh vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện ii)

2) Đã hoàn tất được i) và ii), tuy nhiên, học sinh lại quên đối chiếu điều kiện ràng buộc của biến.

Hiểu đơn giản, bài toán yêu cầu xét trên một tập số nào đó của biến (tức là thêm các yếu tố ràng buộc) mà học sinh không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước ii) lại nằm ngoài tập cho trước đó.

hayhochoi

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 1)2 – 3

Giả sử lời giải như sau:

Vì (x2 + 1)2 ≥ 0 nên (x2 + 1)2 – 3 ≥ -3 ⇔ A ≥ -3

Kết luận giá trị nhỏ nhất của A bằng -3.

→ Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm 1) ở trên, tức là quên kiểm tra điều kiện ii).

Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có (x2 + 1)2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra được với mọi giá trị của biến x.

* Ví dụ 2: Với x là số nguyên không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + 2)2 – 5.

Giả sử lời giải như sau:

Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên (x + 2)2 – 5 ≥ – 5 ⇔ A ≥ – 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Kết luận GTNN của A  = -5 khi x = -2.

→ Kết luận như vậy mắc phải sai lầm 2) ở trên, vì bài toán cho x là số nguyên không âm nên x sẽ không nhận giá trị x = -2 để min(A) = -5 được.

Như vậy các em cần lưu ý khi tìm GTLN và GTNN của một biểu thức (A) thì biểu thức (A) đạt GTLN hay GTNN đó khi biến (x) nhận giá trị bằng bao nhiêu, giá trị này có thỏa ràng buộc biến của bài toán hay không sau đó mới kết luận.

II. Bài tập tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có dạng tam thức bậc 2

Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do, dạng:

  • d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất.
  • (a ± b)± c ≥ ± c  Ta tìm được giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (x – 3)2 + 5

> Lời giải:

– Vì (x – 3)2 ≥ 0 ⇔ (x – 3)2 + 5 ≥ 5 ⇔ A ≥ 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A = 5 xảy ra khi x – 3 = 0 ⇔ x = 3.

Kết luận: GTNN của A là 5 đạt được khi x = 3.

* Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2x2 – 8x + 3

> Lời giải:

– Ta có: A = 2x2 – 8x + 3 = 2x2 – 8x + 8 – 5

⇔ A =  2x2 – 8x + 8 – 5

⇔ A = 2(x2 – 4x + 4) – 5

⇔ A = 2(x – 2)2 – 5

Vì (x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 – 5 ≥ -5

Dấu “=” xảy ra khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

Kết luận: GTNN của A là 5 đạt được khi x = 2.

* Bài tập 3: Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2 – 6x

> Lời giải:

– Ta có: A = 2x2 – 6x

1629111953cwhbyw1k76 1629120429

1629111956np01fg8l7m 1629120429

Vì 1629111960m3onjmdtdm 1629120429

Dấu “=” xảy ra khi 1629111964zv8vdvg275 1629120429

Vậy GTNN của A bằng -9/2 đạt được khi x = 3/2

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: B = 2 + 4x – x2

> Lời giải:

– Ta có:  B = 2 + 4x – x2 = 6 – 4 + 4x – x2

= 6 – (4 – 4x + x2) =  6 – (2 – x)2

Vì (2 – x)2 ≥ 0

⇒ -(2 – x)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)

⇒ 6 – (2 – x)2 ≤ 6 (cộng hai vế với 6)

Vậy GTLN của biểu thức B bằng 6 đạt được khi (2 – x)2 = 0 ⇒ x = 2.

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: C = 2x – x2

> Lời giải:

– Ta có:  C = 2x – x2 = -x2 + 2x – 1 + 1

= 1 – (x2 – 2x + 1) =  1 – (x – 1)2

Vì (x – 1)2 ≥ 0

⇒ -(x – 1)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)

⇒ 1 – (x – 1)2 ≤ 1 (cộng hai vế với 1)

Vậy GTLN của biểu thức C bằng 1 đạt được khi (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Dạng 2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có chứa dấu trị tuyệt đối

Phương pháp: Đối với dạng tìm GTLN, GTNN này ta có hai cách làm sau:

+) Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

+) Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

∀x, y ∈ Q ta có:

  • |x + y| ≤ |x| + |y| Dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0
  • |x – y|  ≤ |x| – |y|

* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10

> Lời giải:

– Đặt y = |2x – 1| ⇒ y2 = (2x – 1)2

– Ta có: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10 = y2 – 6y + 10

= y2 -2.3.y + 9 + 1 = (y – 3)2 + 1

Vì  (y – 3)2 ≥ 0 ⇒ (y – 3)2 + 1  ≥ 1.

min(A) = 1 khi chỉ khi  (y – 3)2 = 0 ⇔ y = 3 ⇔ |2x – 1| = 3

⇔ 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3

⇔ 2x = 4 hoặc 2x = -2

⇔ x = 2 hoặc x = -1.

Kết luận: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 2 hoặc x = -1.

* Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = |x – 1| + |x – 3|

> Lời giải:

– Lưu ý rằng |-a| = |a|, nên ta có:

B = |x – 1| + |x – 3| = |x – 1| + |3 – x| ≥ | x – 1 + 3 – x| = 2.

Suy ra: B ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi  (x – 1)(3 – x) ≥ 0

⇔ x – 1 ≥ 0 và 3 – x ≥ 0;

hoặc x – 1 ≤ 0 và 3 – x ≤ 0

⇔ (x  ≥ 1 và 3 ≥ x)

hoặc (x ≤ 1 và 3 ≤ x)

⇔ 1 ≤ x ≤ 3

 

* Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:

a) A = x2 – 8x + 19

b) B = x2 – 10x + 27

c) C = x2 – 2x + y2 + 4y + 8

* Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất các biểu thức sau:

a) A = 10x – 2x2

b) B = 5 – 6x – x2

c) C = -x2 + 8x + 6

* Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức (nếu có)

a) A = |x – 2020| + |x – 2021|

b) B = |x – 3| + |x – 4| + 2019

Hy vọng qua bài viết về cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn và không còn ái ngại mỗi khi gặp dạng toán này.

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)

55 Comments

  1. One of the reasons why we love this product is because it s natural to use and doesn t require any additional purchases of test strips propecia fast delivery The information provided in Overdose of Tamoxifen ratiopharm is based on data of another medicine with exactly the same composition as the Tamoxifen ratiopharm

  2. Психическое здоровье включает в
    себя наше эмоциональное, психологическое и социальное благополучие.
    Это влияет на то, как мы думаем, чувствуем и действуем.

    Оно также помогает определить, как мы справляемся со стрессом, относимся к другим и делаем здоровый выбор.

    Психическое здоровье важно на каждом этапе жизни:
    с детства и подросткового возраста до взрослой жизни.ние) — специалист, занимающийся изучением проявлений, способов и форм организации психических явлений личности в различных областях человеческой деятельности для решения научно-исследовательских и прикладных задач, а также с целью
    оказания психологической помощи, поддержки
    и сопровождения.

  3. Получите перетяжку мягкой мебели с гарантией качества
    Перетяжка мягкой мебели : простой способ обновить интерьер
    Высокое обслуживание перетяжки мягкой мебели
    Перетяжка мягкой мебели обновить диван или кресло
    перетяжка мебели https://www.peretyazhkann.ru.

  4. Перетянуть мягкую мебель в доме: Обновить новый вид старой мебели: секреты перетяжки перетягивать мебель своими руками: Нюансы ткани для перетяжки мягкой мебели: секреты выбора
    перетяжка мягкой мебели.
    Интерьер без границ: перетяжка мягкой мебели для оригинального дизайна

  5. Отремонтировать мягкую мебель в доме: Обновить новый вид старой мебели: секреты перетяжки перетягивать мебель своими руками: полезные советы ткани для перетяжки мягкой мебели: секреты выбора
    обивка мебели.
    Перетяжка мягкой мебели: практичные советы для начинающих

  6. Дети дошкольники картинки. Книги связанные с психологией
    человека. Черно белое как называется. Любой человек рождается как личность биологическое существо индивидуальность рост и развитие жизни.
    Предметом психологии. Характеристика человека как индивида является.
    Общая характеристика человека является индивид так ли это.
    Сделать пресс на фото онлайн.

  7. Каких цветов не существует в природе.
    Типы личности эннеаграмма тест.
    К чему снится что на тесте 2 полоски. Человек это кто или что. Основными функциями психики являются.
    Https того. Понятие человек в
    педагогике. Фрагментарность восприятия.

  8. Hello there, I found your website by the use of Google whilst searching for a comparable subject, your website got here up,
    it seems to be great. I have bookmarked it in my google bookmarks.

    Hi there, simply turned into aware of your
    weblog thru Google, and found that it is really informative.

    I’m gonna watch out for brussels. I’ll appreciate in case you proceed
    this in future. Lots of people will probably be
    benefited from your writing. Cheers!

  9. Greetings! I know this is kind of off topic but I was wondering
    if you knew where I could locate a captcha plugin for my
    comment form? I’m using the same blog platform as yours and I’m having difficulty
    finding one? Thanks a lot!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button