Giải bài 2: Mặt cầu

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm mặt cầu

1. Khái niệm

• Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng $r$, ($r>0$) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính $r$.
• Ký hiệu:

• CD được gọi là dây cung <=> hai điểm C, D nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
• AB được gọi là đường kính mặt cầu <=> dây cung AB đi qua tâm O.
• $AB=2r$.

2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu

Cho $S(O;r)$ và A là điểm bất kì trong không gian.

• $OA=r$ => A nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
• $OA<r$ => A nằm trong mặt cầu $S(O;r)$.
• $OA>r$ => A nằm ngoài mặt cầu $S(O;r)$.

==> Kết luận: 

• Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu $S(O;r)$ cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính $r$.

3. Cách biểu diễn mặt cầu

• Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
• Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

• Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu.
• Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục.
• Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho $S(O;r)$ và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).

=>$h=OH$ là khoảng cách từ O tới (P).

1. Khi $h>r$

Với M là một điểm bất kì trên (P) => $OM \geq OH$

=> $OM >r$ hay $\forall M \in (P)$.

==> Kết luận: (P) không cắt $S(O;r)$.

2. Khi $h=r$

• Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với $S(O;r)$ tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H.

3. Khi $h<r$

Ta có: $r’=\sqrt{r^{2}-h^{2}}=MH$

=> $M \in (P)$.

• Khi $h=0$ => Tâm O của mặt cầu thuộc (P).

=> Giao tuyến của (P) và $S(O;r)$ là đường tròn tâm O bán kính $r$.  ( gọi là đường tròn lớn ).

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho $S(O;r)$ và đường thẳng $\Delta $. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên $\Delta $ và $d= OH$ là khoảng cách từ O tới $\Delta $.

1. Khi $d>r$

$\Delta $ không cắt $S(O;r)$.

=> $M\forall M \in \Delta$ đều nằm ngoài $S(O;r)$.

2. Khi $d=r$

• Điều kiện cần và đủ để $\Delta $ tiếp xúc với $S(O;r)$ tại H là $\Delta $ vuông góc với bán kính OH tại H.

3. Khi $d<r$

Ta có: $\Delta $ cắt $S(O;r)$ tại hai điểm M và N.

=> Hai điểm M và N là giao điểm của $\Delta $ với đường tròn giao tuyến của $S(O;r)$ và mặt phẳng $(O,\Delta )$.

Đặc biệt: 

• Khi $d=0$ => $\Delta $ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.

=> AB là đường kính của mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu

• Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

• Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.