Hình học lớp 12

Giải bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài học với nội dung: Phương trình đường thẳng trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, ConKec sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí

  • Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và nhận $\overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2};a_{3})$ làm vectơ chỉ phương.
  • Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\Delta $ là có một số thực $t$ sao cho:
$\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} &  & \\ y=y_{0}+ta_{2} &  & \\ z=z_{0}+ta_{3} &  & \end{matrix}\right.$ 

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1. Hai đường thẳng song song

Bạn đang xem bài: Giải bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

  • d // d’ <=> $d//d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a’} &  & \\ M \in d &  & \\ M \notin d’ &  & \end{matrix}\right.$
  • $d \equiv  d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a’} &  & \\ M \in d &  & \\ M \in d’ &  & \end{matrix}\right.$

2. Hai đường thẳng cắt nhau

Cho d: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} &  & \\ y=y_{0}+ta_{2}  &  & \\ z=z_{0}+ta_{3} &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}’+t’a_{1}’ &  & \\ y=y_{0}’+t’a_{2}’  &  & \\ z=z_{0}’+t’a_{3}’ &  & \end{matrix}\right.$

  • $d$ và $d’$ cắt nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}’+t’a_{1}’ &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}’+t’a_{2}’  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}’+t’a_{3}’ &  & \end{matrix}\right.$ có đúng  một nghiệm.

3. Hai đường thẳng chéo nhau

  • $d$ và $d’$ chéo nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}’+t’a_{1}’ &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}’+t’a_{2}’  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}’+t’a_{3}’ &  & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm.

B. Bài tập & Lời giải

Câu 1: Trang 89 – sgk hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(2;-3;1)$

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: $x + y – z + 5 = 0$

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t &  & \\y=-3+3t  &  & \\ z=4t &  & \end{matrix}\right.$

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Xem lời giải

Câu 2: Trang 89 – sgk hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

d: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=-3+2t  &  & \\ z=1+3t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$  lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy) 

b) (Oyz)

Xem lời giải

Câu 3: Trang 90 sgk hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau:

a) d: $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t &  & \\y=-2+3t  &  & \\ z=6+4t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=5+t’ &  & \\y=-1-4t’  &  & \\ z=20+t’ &  &\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=2+t  &  & \\ z=3-t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t’ &  & \\y=-1+2t’  &  & \\ z=2-2t’ &  & \end{matrix}\right.$

Xem lời giải

Câu 4: Trang 90 – sgk hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: $\left\{\begin{matrix}x=1+at &  & \\y=t  &  & \\ z=-1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1-t’ &  & \\y=2+2t’  &  & \\ z=3-t’ &  & \end{matrix}\right.$

Xem lời giải

Câu 5: Trang 90 – sgk hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\alpha$) trong các trường hợp sau:

a) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t &  & \\y=9+3t  &  & \\ z=1+t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $3x+5y-z-2=0$

b) d: $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=2-t  &  & \\ z=1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+3y+z+1=0$

c) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t &  & \\y=1+2t  &  & \\ z=2-3t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+y+z-4=0$

Xem lời giải

Câu 6: Trang 90 – sgk hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng  

∆ : $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t &  & \\y=-1+3t  &  & \\ z=-1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và mp($\alpha$): $2x-2y+z+3=0$

Xem lời giải

Câu 7: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=1+2t  &  & \\ z=t &  & \end{matrix}\right.$ 

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Xem lời giải

Câu 8: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ($\alpha$): $x + y + z – 1 = 0$

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$).

b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ($\alpha$).

Xem lời giải

Câu 9: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{matrix}x=1-t &  & \\y=2+2t  &  & \\ z=3t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=3-2t  &  & \\ z=1 &  & \end{matrix}\right.$

Chứng minh d và d’ chéo nhau. 

Xem lời giải

Câu 10: Trang 91 – sgk hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).

Xem lời giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Vết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$.

Xem lời giải

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0,(Q): A^{‘}x+B^{‘}y+C^{‘}z+D^{‘}=0$

Xem lời giải

Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).

Xem lời giải

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$

Xem lời giải

Trích nguồn: THPT CHU VĂN AN
Danh mục: Hình học lớp 12

Nguyễn Thị Hương Thủy

Cô giáo Nguyễn Thị Hương Thủy tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hiện đang tham gia giảng dạy môn Ngữ Văn tại trường THPT Chu Văn An. Cô có 20 năm kinh nghiệm giảng dạy, dẫn dắt nhiều thế hệ học sinh đạt những thành tích cao và đặt chân vào các trường đại học danh tiếng. Cô gặt hái được rất nhiều thành công trong sự nghiệp: giải Nhì trong cuộc thi giáo viên giỏi do thành phố Hà Nội tổ chức, tham gia giảng dạy đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia.
Back to top button