Hình học lớp 12

Giải bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài học đầu tiên chương 3 với nội dung: Hệ tọa độ trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, ConKec sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Tọa độ điểm và vectơ

Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Bạn đang xem bài: Giải bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).

Ta có: $\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$

=> Bộ ba số $( a_{1}; a_{2}; a_{3} )$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: $\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hay $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$.

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

  • Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$

$k\overrightarrow{a}=k(a_{1};a_{2};a_{3})$ với k là số thực

==> Hệ quả:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}<=>a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$

$\overrightarrow{0}=(0;0;0)$

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương <=> $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$

III. Tích vô hướng

Định lí

  • Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3})$

Ứng dụng

  • Độ dài vectơ:
$\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
  • Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$  và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:
$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$
  • Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $
$\cos\varphi =\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$
  • Đặc biệt: 
$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}<=> a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

  • Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

B. Bài tập & Lời giải

Câu 1: Trang 68 – sgk hình học 12

Cho ba vectơ  $\overrightarrow{a}=(2;-5;3)$, $\overrightarrow{b}=(0;2;-1)$, $\overrightarrow{c}=(1;7;2)$

a) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$

b) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$

Xem lời giải

Câu 2: Trang 68 – sgk hình học 12

Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Xem lời giải

Câu 3: Trang 68 – sgk hình học 12

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết $A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1),C’ (4; 5; -5)$.

Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Xem lời giải

Câu 4: Trang 68 – sgk hình học 12

a) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}=(3;0;-6)$ và $\overrightarrow{b}=(2;-4;0)$

b) Tính $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$ với $\overrightarrow{c}=(1;-5;2)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3;-5)$

Xem lời giải

Câu 5: Trang 68 – sgk hình học 12

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2}– 8x – 2y + 1 = 0$

b) $3x^{2}+ 3y^{2} + 3z^{2}– 6x + 8y + 15z – 3 = 0$

Xem lời giải

Câu 6: Trang 68 – sgk hình học 12

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)

b) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Xem lời giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Tìm toạ độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thoả mãn một số điều kiện cho trước

Xem lời giải

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức vectơ

Xem lời giải

Trích nguồn: THPT CHU VĂN AN
Danh mục: Hình học lớp 12

Nguyễn Thị Hương Thủy

Cô giáo Nguyễn Thị Hương Thủy tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hiện đang tham gia giảng dạy môn Ngữ Văn tại trường THPT Chu Văn An. Cô có 20 năm kinh nghiệm giảng dạy, dẫn dắt nhiều thế hệ học sinh đạt những thành tích cao và đặt chân vào các trường đại học danh tiếng. Cô gặt hái được rất nhiều thành công trong sự nghiệp: giải Nhì trong cuộc thi giáo viên giỏi do thành phố Hà Nội tổ chức, tham gia giảng dạy đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia.
Back to top button