Giáo Dục

Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Bài viết hôm nay, Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Đây là phần kiến thức Hinh học phổ thông vô cùng quan trọng, liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp. Các em tìm hiểu để củng cố thêm phần kiến thức nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Phương trình bậc hai một ẩn là là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:

  • Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

bse2dcri94wdhmkz6xdm33zusobfp31a2qdfv1vz 2

  • Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
  • Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

  • Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

0hzdzvb5a0cb3qitirvhzpn8fbyavei3njucmyntpegtbvgo4n97forngsxxzo vsdrzkza7remnlo2bfns 8xed0vogneueqffrwsdyozqvonxqonl8t9ei6o8iijkwsat4bzht 1

  • Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
  • Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

2. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

saplkj4v gpkwpvjhjsnqasgyrjc2gdwrvpzlzx2mg4fvmagwxbfxmhflesosqpe5zd6 bqp6uldrxmbew5ks1umw3gdiqik9bpn8pn 4we2aa4d005dqlg3ioccrp yjwg8ly 1

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

  • x1+x2=-b/a
  • x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
  • bjpiobtgsepy5mnm8kiifjsq6fgjcs3kxiforpgql5dectambokrpd42u 8s v3ztnt pudaf7cyfxjz68ta1tp9wjuxdpfzk5pnj0 lpvr5b7mjkb lzs6x4kvmsoydxoua0egp 1

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Luy ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn:

ax2 + bx + c = 0

Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b.

Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c.

1. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta giải theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Biến đổi thành phương trình dạng a(x+m)2 = n.

Phương pháp 2: Biến đổi thành phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b

ax2 + c = 0 (a ≠ 0)

Ta được x2 = -c/a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √-ca

Nếu -ca < 0 thì phương trình vô nghiệm

3. Cách giải phương trình khuyết c

ax2 + bx = 0 (a ≠ 0)

Ta biến đổi thành: x(a + b) = 0<=> x = 0 và ax = -b  <=> x=0 và x=−b/a

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b/a

III. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số

a. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

  • wqleuwsyzy8esvfvv8proyi6qehaflwysii1idq6iqqsv3qcismiinuoyuuhzc2invd5f a1i 38pqh6kutduowim 3cuwsbeqgxbxrt6xj urzy6b7v82i3g7z6pbqjympykvse 1
  • Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
    • Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
    • Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

8b8nmxthu8gjh02dwbm283jd ntmeudghcled6wraa416oznjwnsjdboy c fra32sk7s14r7bplqwqbtgwewdrglzfleaxm myfkvmlmt1a482e0uoptvoskf0w8v0ng8ftafn9 1

b. Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
  • Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

phuong-trinh-bac-2-mot-an-02

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

uiju 87jqmabey co67uu9eddxxemfsd8xvyowm0j usiixklio91vb2 h2gefankzlzjywh5k2k4ymuv7eb qjhmcgnuvcpiuyas lk 5t9c whk0plfmdojlumofrl5w62cvg1 1

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

 qjetoer70xrpqpzykwu0qd4tzhkcxpcmd9vlvcoexsdlr1zbiq7p2kgu9eupees xfr6oyaplcgfsbovs2 br9xnksbplwtawdh9qjqn46jnfwoorv1a vnyn yxnq2ur6lsqvc 1

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

otubcs8fgffabi5f9c5q6upqlhjot3mujxz6tmetpterwoi6az5 cnfbfpbsdbxmi0szduhbrjmioo vaq8dfeebncitjzuqrot zpqvydyslzn99iqkikkpmidr5di2j4tikf 1

Mặt khác:

m4agjgvps5ggpmtxu5gk2e2u3gnkpitwryw8g0jnhz6nrzlf5sg8wspuco3abp5t5aynjhixlagencuc5 kaqexwabrkjfhquk1yoyp 8 ziyrn7b0ykbhzprwxi2yrc0vbhinzg 1

Theo đề:

hq39vzkhvzxvkaqdmyrjkyak4 dolbbbx mtvvdzicjjlwbwifg6rmxij0gpu3vqydynyldkxy7hpf5dje z3l0giodbjuxofknj01dn h7onqmq cfpjzioigwxg7mlxh7 1auw 1

Thử lại:

  • Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
  • Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

2. Dạng 2: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

  1. x2-3x+2=0
  2. x2+x-6=0

Hướng dẫn:

  1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

jzhhp8a4tatkovc dk4mc3jsz1ewp ordxzfiry7wdfhefwaf9kvyr7aloq29 d xoepgvzwaiotk3fezknfh6xjw3xmcpx6sjpwo0cvxrryfvxsmxz62s17cwfe2wx bhswfge 1

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý xs58lx92gvwqchyfnhvvysoqpbhicmut2afpy wpmwbr3k0bw746icucp0styg9efmgbc14vepmgiac0tmz vwwwylvzfdsoacljsb1 m5jqh7vukmut8p2memppi1qurr6amlks 1

suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

  1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

tt6knyzpqsmuaxyso oc1gz1uticujo8kulksfgf ossm1pltdct7 rske9npvzvuu0ue0qln5zt1rytfbcb1mt0i eornw3h ru 7f32c2aqhort52tsbrkmqox98nd ljmhplr 1

 

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

a. Phương trình khuyết hạng tử

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

  • 4uhpbydanbil6i9qptanaz8b1ljicp8zqa 6hjb5ajqva8zhfrwi2lzf0amilcspqg3y yk f1x3chs7khtg1ty7lpoxzjp akvv8c mulyl6lfjo alpn6lgzldroyyzfraqxvc 1
  • Nếu -c/a>0, nghiệm là:

3m0ticxbzvperz1jj9gkgz6afczw0 rhj yzmitqrgdlc9v3mhr2jrteprqkfsivzx5cmliq bw1kfo xr3rautllp56edhkjnn b7ltz6vtlqntm7nfq3wr3slsprzgvpm3dvzo 1

Nếu -c/a=0, nghiệm x=0

  • Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

  • vu7sg95auhroftjlv4hvfrnbpt9ovdgqgivvmicse1vunjpgzlcdqxv8xosfrxun3xo a5fwpqiloefob55mepqe5tqhkfvt13ui4lsqia7zaul8tuvspj228dfv5seu57b5ovid 1

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

  1. x2-4=0
  2. x2-3x=0

Hướng dẫn:

  1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
  2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

b. Phương trình đưa về dạng bậc 2

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

  • Đặt t=x2 (t≥0).
  • Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
  • Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

  • Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
  • Quy đồng khử mẫu.
  • Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

  1. 4x4-3x2-1=0
  2. kzfwtg9gkbgaij5kz9wtlwa3cv33yglc smnc3i xus8qms0cdckusxrdhf95xxhjqmg igwmgpqbobvjaqeymg gc5kuyu5vgztg7dmqtvg07x48nackg fkk2w voug1nxodkt 1

Hướng dẫn:

  1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

  • t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
  • t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

  1. Ta có:

phuong-trinh-bac-2-mot-an-01

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng tại đường link này nữa nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)

Nguyễn Thị Hương Thủy

Cô giáo Nguyễn Thị Hương Thủy tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hiện đang tham gia giảng dạy môn Ngữ Văn tại trường THPT Chu Văn An. Cô có 20 năm kinh nghiệm giảng dạy, dẫn dắt nhiều thế hệ học sinh đạt những thành tích cao và đặt chân vào các trường đại học danh tiếng. Cô gặt hái được rất nhiều thành công trong sự nghiệp: giải Nhì trong cuộc thi giáo viên giỏi do thành phố Hà Nội tổ chức, tham gia giảng dạy đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button