Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức và ví dụ – Toán lớp 8

Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức và ví dụ. Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các lớp học sau này.

Hiểu được điều đó, bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các ví dụ cụ thể để các em có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.

I. Kiến thức cần nhớ về 7 hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng

(A + B)² = A² + 2AB + B²

* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

a) x² + 2x + 1 = (x)² + 2.(x).(1) + (1)² = (x+1)²

b) 9x² + y² + 6xy = 9x² + 6xy + y² = (3x)² + 2.(3x).(y) + (y)² = (3x+y)²

2. Bình phương của một hiệu

(A – B)² = A² – 2AB + B²

*  Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a² + 4b² – 20ab = 25a² – 20ab + 4b² = (5a)² – 2.(5a).(2b) + (2b)² = (5a+2b)²

d)

3. Hiệu hai bình phương

A² – B² = (A – B)(A + B)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x² – 9

* Lời giải:

– Ta có: 4x² – 9 = (2x)² – (3)² = (2x-3)(2x+3)

4. Lập phương của một tổng

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

*  Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính

a) (2x²+3y)³ =(2x²)³ + 3(2x²)².(3y) + 3(2x²).(3y)² + (3y)³ = 8x⁶ + 36x⁴y + 54x²y² + 27y³

5. Lập phương của một hiệu

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

*  Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính

b) 

6. Tổng hai lập phương

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x³ + 64

x³ + 64 = x³ + 4³ = (x+4)(x²-4x+4²) = (x+4)(x²-4x+16)

7. Hiệu hai lập phương

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x³ – y³

 8x³ – y³ = (2x)³ – y³ = (2x-y)[(2x)² – (2x).y + y²] = (2x-y)(4x² + 2xy + y²)

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;

 (a+b)²= (-a-b)² ;

 (a-b)²= (b-a)² ;

 (a+b)³= -(-a-b)³ ;

 (a-b)³=-(-a+b)³

II. Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x² – 4x + 4 =  x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

 Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x² – 2x + 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

– Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: A_min = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x²

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 – 4x + x²) = 4 – (x² – 4x + 4) = 4 – (x – 2)²

– Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x

⇔  4 – (x – 2)² ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: A_max = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

 Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

• Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

 Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x² – x + 1

* Lời giải: 

– Ta có: 

– Vì  nên 

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2

* Lời giải: 

– Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x² + 4x – 2 = -x² + 6x – 9 – 1 = -(x² – 6x + 9) – 1 = -(x-3)² – 1

– Vì (x-3)² ≥ 0 ⇔ -(x-3)² ≤ 0 ⇒ -(x-3)² – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,

• Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x² – 4x + 4 – y²

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 4x + 4 – y² [để ý x² – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x² – 4x + 4) – y²  [nhóm hạng tử]

= (x – 2)² – y²   [xuất hiện đẳng thức số A² – B²]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

 Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x² – 2.2x + 2²)

= x(x – 2)²

 Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x ² – 2xy – x + 2y

= (x ²– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 Ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x² – 5x + 6

= x² – 2x – 3x  + 6

= x(x – 2) – 3(x  – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x²( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x² (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x² – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

 Ví dụ: Tính giá trị của phân thức   tại x = –1

* Lời giải:

– Ta có :

– Khi x = -1 :

⇒ Kết luận, vậy:  I = 1/2 tại x = -1 .

III. Bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25²;     35²;     65²;     75²

* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: 

– Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

– Đặt A = a(a + 1). Khi đó ta có:

– Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng  , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.

* Áp dụng:

25² = 625 (Vì 2.3 = 6)

35² = 1225 (Vì 3.4 = 12)

65² = 4225 (Vì 6.7 = 42)

75² = 5625 (Vì 7.8 = 56)

Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x² + 6xy + … = ( … + 3y)²

b) … – 10xy + 25y² = ( … – …)²

Hãy nêu một đề bài tương tự.

* Lời giải bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: 

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A+B)² với:

A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

– Vậy ta có hằng đẳng thức: x² + 2.x.3y + (3y)² = (x + 3y)² hay x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)²

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A-B)²  với:

B² = 25y² = (5y)² ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

– Vậy ta có hằng đẳng thức : x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

c) Đề bài tương tự:

9x² + 12xy + … = (… + 4y²)

… – 4xy + y² = ( … – …)²

Bài 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) x³ + 12x² + 48x + 64 tại x = 6

b) x³ – 6x² + 12x – 8 tại x = 22

* Lời giải bài 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1:

a) x³ + 12x² + 48x + 64 = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = (x + 4)³

– Tại x = 6, giá trị biểu thức là: (6 + 4)³ = 10³ = 1000.

b) x³ – 6x² + 12x – 8 = x³ – 3.x².2 + 3.x.2² – 2³ = (x – 2)³

– Tại x = 22, giá trị biểu thức là: (22 – 2)³ = 20³ = 8000.

Bài 30 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

* Lời giải bài 30 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

[có dạng hằng đẳng thức A³+B³]

= (x³ + 3³) – (54 + x³)

= x³ + 27 – 54 – x³

= –27

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

[có dạng hằng đẳng thức A³ + B³ và A³ – B³]

= (2x + y)[(2x)² – 2x.y + y²] – (2x – y)[(2x)² + 2x.y + y²]

= [(2x)³ + y³] – [(2x)³ – y³]

= (2x)³ + y³ – (2x)³ + y³

= 2y³

Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a³ + b³, biết a.b = 6 và a + b = -5

* Lời giải bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

a) Biến đổi vế phải ta được:

VP = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³ = VT

– Kết luận, vậy: a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) Biến đổi vế phải ta được:

VP = (a – b)³ + 3ab(a – b)

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³ = VT

– Kết luận, vậy: a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có:  a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= (–5)³ – 3.6.(–5) = –5³ + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 34 trang 17 SGK toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (a + b)² – (a – b)²

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

* Lời giải bài 34 trang 17 SGK toán 8 tập 1:

a) (a + b)² – (a – b)²

♦ Cách 1: [Áp dụng HĐT A² – B² với A = a + b; B = a – b]

= [(a + b) – (a – b)].[(a + b) + (a – b)]

= 2b.2a = 4ab

♦ Cách 2: [Áp dụng (A+B)² và (A-B)²

= a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

=  4ab

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³ – 2b³

= (a³ – a³) + (3a²b + 3a²b) + (3ab² – 3ab²) + (b³ + b³ – 2b³)

= 6a²b

c) (x + y + z)² – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)²

[áp dụng HĐT (A-B)² với A = x + y + z ; B = x + y)]

= [(x + y + z) – (x + y)]² = z².

IV. Một số bài tập vận dụng 7 hàng đẳng thức luyện tập

Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hay 1 hiệu:

a) 

b) 16x² – 8x + 1

c) 4x² +12xy +9y²

d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Đ/S: a) (x+5/2)² ; b) (4x-1)² ; c) (2x+3y)² ; d) (x²+9x+19)²

Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của 1 tổng hay 1 hiệu:

a) x³ + 3x² + 3x +1

b) 27x³ – 9x² + x – 1/27

c) 8x⁶ + 12x⁴y + 6x²y² + y³

d) (x+y)³(x-y)³

Đ/S: a) (x+1)³ ; b)  ; c) (2x² + y)³ ; d) (x²-y²)³

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức

a) A = (2x+3)² -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)²

b) B = (x²+x+1)(x²-x+1)(x²-1)

c) C = (x+y-z)² + (x-y+z)² – 2(y-z)²

d) D = (x+y+z)² + (x-y-z)² – 2(y-z)²

Đ/S: a) A=4 ; b) B=x⁶-1 ; c) C=2x² ; d) D=2(x²+4yz)

Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu *

a) 8x³ + *  + * + 27y³ = (* + *)³

b) 8x³ + 12x²y + * + * = (* + *)³

c) x³ – * + * – * = (* – 2y)³

Đ/S: a) (2x+3y)³ ; b) (2x+y)³ ; c) (x-2y)³

Bài tập 5: chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta có:

a) -x² + 6x – 10 < 0

b) x⁴ + 3x² +3 > 0

Bài tập 6: Cho a – b = m; a.b = n. Tính theo m, n giá trị biểu thức sau:

1) A= (a + b)²

2) B= a² + b²

3) C= a³ – b³

Đ/S: a) A = m²+ 4n ;  b) B = m² – 2n ; c) C = m(m² + 3n)

Bài tập 7: Tính giá trị của biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức

a) A = x³ + 3x² + 3x + 6 với x = 29

b) B =  x³ – 3x² + 3x – 1 với x = 21

Đ/S: A = 27005 ; B = 8000

Bài tập 8: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) (2x+3)(4x²-6x+9)-2(4x³-1)

b) (4x-1)³ – (4x-3)(16x²+3)

Hy vọng với bài viết hệ thống lại kiến thức về các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đằng thức cùng ví dụ và bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để thầy cô Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)