A. Tổng hợp kiến thức
I. Hình nón tròn xoay
1. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
- Công thức:
| $S_{xq}=\prod .r.l$ |
- Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.
2. Thể tích khối nón tròn xoay
- Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
- Công thức:
| $V=\frac{1}{3}B.h$ |
Lưu ý:
- Nếu bán kính đáy = r => $B=\prod r^{2}$
| $V=\frac{1}{3}\prod.r^{2}.h$ |
II. Mặt trụ tròn xoay
1. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
- Công thức:
| $S_{xp}=2\prod .r.l$ |
- Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
2. Thể tích khối trụ tròn xoay
- Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
- Công thức:
| $V=B.h$ |
Lưu ý:
- Nếu bán kính đáy = r => $B=\prod r^{2}$
| $V=\prod.r^{2}h$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 39 – sgk hình học 12
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Xem lời giải
Câu 2: Trang 39 – sgk hình học 12
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Xem lời giải
Câu 3: Trang 39 – sgk hình học 12
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Xem lời giải
Câu 4: Trang 39 – sgk hình học 12
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm,. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Xem lời giải
Câu 5: Trang 39 – sgk hình học 12
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Xem lời giải
Câu 6: Trang 39 – sgk hình học 12
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Xem lời giải
Câu 7: Trang 39, 40 – sgk hình học 12
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao $h = r\sqrt{3}$
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
Xem lời giải
Câu 8: Trang 40 – sgk hình học 12
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O’;r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO’ = r . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là hình tròn (O;r).
a) Gọi $S_{1}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và $S_{2}$ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$.
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Xem lời giải
Câu 9: Trang 40 – sgk hình học 12
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc $60^{\circ}$.Tính diện tích tam giác SBC.
Xem lời giải
Câu 10: Trang 40 – sgk hình học 12
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
