Định lí Ceva. Cách chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập
Định lí Ceva, cách chứng minh định lí Ceva là môt trong những định lí phổ biến trong hình học cơ bản học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Hình học 8. Nắm chắc phần kiến thức này giúp bạn giải quyết được nhiều bài toán thực tế. Bạn hãy cùng Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội giải quyết vấn đề này nhé !
I. ĐỊNH LÍ CEVA LÀ GÌ ?
Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:
Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi
.
Định lý Ceva
Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Cevian ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác {displaystyle DEF}
là một tam giác Cevian của tam giác ABC.
II. CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ CEVA
1. Chứng minh định lý Ceva thuận
Giả sử ta đã có AD,BE,CF đồng quy tại điểm O
Khi đó ta có :
Vậy ta có điều phải chứng minh.
2. Chứng minh định lý Ceva đảo
Giả sử ta đã có các điểm D,E,F thỏa mãn
Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO
Theo phần thuận chứng minh ở trên thì ta có :
Vậy F ≡ F′ hay nói cách khác thì AD,BE,CF đồng quy
Như vậy ta đã chứng minh được cả hai chiều của Đ/L Ceva. Trong một số bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận cũng như chiều đảo của định lý để giải quyết bài toán nhanh gọn.
3. Ví dụ về định lí Ceva
Ví dụ: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BCm CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.
Lời giải:
Xét tam giác ABC với 3 đoạn thẳng Ceva AD, BE, CF đồng quy. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của chúng. M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm I, J, K nằm trên 3 cạnh của tam giác MNP. Trong tam giác MNP xét tỉ sốK
Từ đó theo định lí Ceva, ta có MI, NJ, PK đồng quy (đpcm)
III. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CEVA GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là 2 điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC?
Lời giải
Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh. Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi là (EA/EB = FA/FC) và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA. N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC, Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC, Chứng minh rằng DE // MN?
Bài 3: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.
Lời giải:
IV. BÀI TẬP VỀ ĐỊNH LÍ CEVA
Bài 1: Cho tam giác ABC và ba điểm E,F,M thứ tự trên các cạnh AC,BC,AB sao cho EF||BC và MB=MC. Chứng minh rằng CF,BE,AM đồng quy.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh rằng AK,BG,CE đồng quy.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. Gọi X,Y,Z là ba điểm bất kì nằm trên BC,CA,AB sao cho AX,BY,CZ đồng quy.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm AX,BY,CZ. Chứng minh rằng MD,NE,PF đồng quy.
Bài 4: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi D′,E′,F′ lần lượt là điểm đối xứng của D,E,F qua I. Chứng minh AD′,BE′,CF′ đồng quy.
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) cắt cạnh BC tại X,Y; cắt cạnh CA tại Z,T; cắt cạnh AB tại U,V sao cho XYZTUV là các đỉnh của một lục giác lồi. Lấy các giao điểm XT∩YU=A′;ZV∩TX=B′;UY∩VZ=C′. Chứng minh rằng AA′,BB′vàCC′ đồng quy.
Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu định lý Ceva trong không gian và cách ứng dụng vào giải toán cực hay. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu quý giúp bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm định lý Menelaus và cách ứng dụng cực hay bạn nhé
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
