Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức và ví dụ. Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các lớp học sau này.
Hiểu được điều đó, bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các ví dụ cụ thể để các em có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.
I. Kiến thức cần nhớ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab + 4b2 = (5a)2 – 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d) 
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 – 9
* Lời giải:
– Ta có: 4x2 – 9 = (2x)2 – (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b) 
6. Tổng hai lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 – y3
8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x-y)[(2x)2 – (2x).y + y2] = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]
⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 – x + 1
* Lời giải:
– Ta có: 
– Vì 
nên 
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
– Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
– Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,
• Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
• Dạng 8: Tìm giá trị của x
Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức
Ví dụ: Tính giá trị của phân thức 
tại x = –1
* Lời giải:
– Ta có : 
– Khi x = -1 : 
⇒ Kết luận, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .
III. Bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752
* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
– Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
– Đặt A = a(a + 1). Khi đó ta có:
– Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng 
, ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.
* Áp dụng:
252 = 625 (Vì 2.3 = 6)
352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)
652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)
752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)
Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + … = ( … + 3y)2
b) … – 10xy + 25y2 = ( … – …)2
Hãy nêu một đề bài tương tự.
* Lời giải bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A+B)2 với:
A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
– Vậy ta có hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A-B)2 với:
B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.
– Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
c) Đề bài tương tự:
9x2 + 12xy + … = (… + 4y2)
… – 4xy + y2 = ( … – …)2
Bài 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 tại x = 6
b) x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22
* Lời giải bài 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3
– Tại x = 6, giá trị biểu thức là: (6 + 4)3 = 103 = 1000.
b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3
– Tại x = 22, giá trị biểu thức là: (22 – 2)3 = 203 = 8000.
Bài 30 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
* Lời giải bài 30 trang 16 SGK toán 8 tập 1:
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
[có dạng hằng đẳng thức A3+B3]
= (x3 + 33) – (54 + x3)
= x3 + 27 – 54 – x3
= –27
b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
[có dạng hằng đẳng thức A3 + B3 và A3 – B3]
= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]
= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3]
= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3
= 2y3
Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5
* Lời giải bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1:
a) Biến đổi vế phải ta được:
VP = (a + b)3 – 3ab(a + b)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3 = VT
– Kết luận, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) Biến đổi vế phải ta được:
VP = (a – b)3 + 3ab(a – b)
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2
= a3 – b3 = VT
– Kết luận, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
= (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35
Bài 34 trang 17 SGK toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (a + b)2 – (a – b)2
b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
* Lời giải bài 34 trang 17 SGK toán 8 tập 1:
a) (a + b)2 – (a – b)2
♦ Cách 1: [Áp dụng HĐT A2 – B2 với A = a + b; B = a – b]
= [(a + b) – (a – b)].[(a + b) + (a – b)]
= 2b.2a = 4ab
♦ Cách 2: [Áp dụng (A+B)2 và (A-B)2
= a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= 4ab
b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3
= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)
= 6a2b
c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2
[áp dụng HĐT (A-B)2 với A = x + y + z ; B = x + y)]
= [(x + y + z) – (x + y)]2 = z2.
IV. Một số bài tập vận dụng 7 hàng đẳng thức luyện tập
Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hay 1 hiệu:
a) 
b) 16x2 – 8x + 1
c) 4x2 +12xy +9y2
d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1
Đ/S: a) (x+5/2)2 ; b) (4x-1)2 ; c) (2x+3y)2 ; d) (x2+9x+19)2
Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của 1 tổng hay 1 hiệu:
a) x3 + 3x2 + 3x +1
b) 27x3 – 9x2 + x – 1/27
c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3
d) (x+y)3(x-y)3
Đ/S: a) (x+1)3 ; b) 
; c) (2x2 + y)3 ; d) (x2-y2)3
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức
a) A = (2x+3)2 -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)2
b) B = (x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)
c) C = (x+y-z)2 + (x-y+z)2 – 2(y-z)2
d) D = (x+y+z)2 + (x-y-z)2 – 2(y-z)2
Đ/S: a) A=4 ; b) B=x6-1 ; c) C=2x2 ; d) D=2(x2+4yz)
Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu *
a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3
c) x3 – * + * – * = (* – 2y)3
Đ/S: a) (2x+3y)3 ; b) (2x+y)3 ; c) (x-2y)3
Bài tập 5: chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta có:
a) -x2 + 6x – 10 < 0
b) x4 + 3x2 +3 > 0
Bài tập 6: Cho a – b = m; a.b = n. Tính theo m, n giá trị biểu thức sau:
1) A= (a + b)2
2) B= a2 + b2
3) C= a3 – b3
Đ/S: a) A = m2+ 4n ; b) B = m2 – 2n ; c) C = m(m2 + 3n)
Bài tập 7: Tính giá trị của biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức
a) A = x3 + 3x2 + 3x + 6 với x = 29
b) B = x3 – 3x2 + 3x – 1 với x = 21
Đ/S: A = 27005 ; B = 8000
Bài tập 8: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) (2x+3)(4x2-6x+9)-2(4x3-1)
b) (4x-1)3 – (4x-3)(16x2+3)
Hy vọng với bài viết hệ thống lại kiến thức về các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đằng thức cùng ví dụ và bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để thầy cô Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
Die Verifizierung hilft sicherzustellen, dass es sich bei den Bewertungen, die Sie auf Trustpilot lesen, um Bewertungen von echten Menschen handelt.
Beanspruchen Sie Ihr Profil, um Zugang zu den kostenfreien Business-Tools von Trustpilot zu erhalten und die Beziehung zu Ihren Kunden zu stärken. Jetzt wollte ich
800 auszahlen und plötzlich heisst ich hätte ein verbotenes Spiel gespielt trotz bonus.
Durchsuchen Sie alle von HugoBets Casino angebotenen Boni, einschließlich jener Bonusangebote,
bei denen Sie keine Einzahlung vornehmen müssen, und durchstöbern Sie auch alle
Willkommensboni, die Sie bei Ihrer ersten Einzahlung erhalten werden. Das bedeutet, dass wir
möglicherweise eine Kommission erhalten, wenn du dich über unseren Link bei einem Casino registrierst und
dort spielst. CasinoFM bietet dir einen kostenlosen Vergleich
von Online Casinos, durchgeführt mit reichhaltiger Expertise.
Die erste Einzahlung bringt einen 100% Bonus bis 300€ plus 50 Freispiele mit
sich. Aufladen kannst du dein Konto ab 5€, es gibt sogar einen 5 Euro Einzahlungsbonus.
Immer am Donnerstag sucht Hugo einen Spielautomaten aus, an dem man sich mit seinen Einzahlungen dreimal Freispiele holen kann.
Als Mitglied erhalten Sie besondere Vorteile, die speziell für echte Fans konzipiert sind,
die Wert auf zusätzliche Pflege und Aufmerksamkeit legen. Wenn Sie VIP im Happy Hugo Casino werden, erhalten Sie
Zugang zu einer Sonderprämie. Alle Benutzer unserer Web-App erhalten gleichzeitig Updates,
sodass Sie sich nie Gedanken darüber machen müssen, den Überblick über Versionen zu behalten oder neue Versionen zu
verpassen. Da keine speziellen Apps installiert
werden müssen, ist der gesamte Anmelde- und Spielvorgang sicher und schnell.
Im Happy Hugo Casino bietet Ihnen die Verwendung von Aktionscodes mit wenig Aufwand einen Mehrwert.
References:
https://online-spielhallen.de/alles-uber-die-venlo-casino-auszahlung-ein-detaillierter-leitfaden/
I confirmed that the games use Random Number Generators (RNGs) for fair results.
Rules differ from country to country, so make sure you’re of the legal gambling age and
follow your local laws before you play. Remember, online gambling laws are different in each region Show more The fastest payout
casino in Australia isn’t just fast, it’s also fully licensed and transparent about its withdrawal policies.
Whether it’s a fresh bonus drop or a trending slot release, fast
payout methods let you react instantly. A fast-paying casino in Australia will always give you control over your play.
Many casinos are integrating virtual reality technology into their platforms.
These casinos are changing the iGaming space through sophisticated gamification strategies to engage gamers on a new level.
In a VR casino, the tension at the poker table
is palpable, with colourful banter from other players.
They offer great welcome bonuses with free spins to keep gamblers returning.
Traditional table game lovers can find their liking, and those inclined to pokies have more than enough to play.
References:
https://blackcoin.co/vip-program-in-uk-casino-advice-and-techniques/
When you play for real money, you want to make sure you’re getting the best possible payouts.
The best way to get better at casino games is to practice without using your own bankroll.
If a casino lets you deposit many ways but only withdraw
one way, it might be better to look at other casinos.
The generous A$5,500 welcome bonus works best if you clear wagering on eligible pokies first, then transition into live
dealer games, where wagering contributions are lower.
Wilna van Wyk is an online casino enthusiast with over a decade
of experience working with some of the world’s biggest gambling affiliates, including
Thunderstruck Media and OneTwenty Group.
Explore new games, features, and bag yourself some banging bonuses
as we deliver the freshest content tailored for your next big win!
Casino Buddies only recommends trusted and reputable Australian online casinos that are safe and secure to
visit. Top options like Neteller and Skrill help Aussies get to online casinos with high payout rates.
When you join an online casino, make sure it’s easy to put money in and take money out.
Tools such as reality checks provide pop-up reminders about how long players have been playing, helping them keep sessions in check.
Responsible gambling is crucial for maintaining a healthy relationship with online
gaming. To claim these bonuses, follow the casino’s specific instructions, which may include entering a bonus code or opting in during registration. Considering these
factors will help you find a casino that meets your needs
and enhances your gaming experience.
References:
https://blackcoin.co/casino-rsm-club-in-depth-review/
paypal casino uk
References:
quickfixinterim.fr
online casino real money paypal
References:
payment.crimmall.com
29417 251020You could definitely see your enthusiasm inside the work you write. The world hopes for much more passionate writers like you who arent afraid to say how they believe. Always go right after your heart. 149244
650001 319031I discovered your weblog web site site on google and appearance some of your early posts. Preserve up the excellent operate. I just extra increase Feed to my MSN News Reader. Looking for toward reading far much more by you later on! 259201
Mình đánh giá cao trải nghiệm người dùng trên web.