Số nguyên tố là gì? Bảng số nguyên tố và các tính chất đặc trưng
Chuyên đề số nguyên tố là chuyên đề số học quan trọng liên quan đến nhiều cấp học. Phần kiến thức này, học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 6, phân môn Đại số. Sau đây Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ tổng hợp lại các kiến thức về khái niệm số nguyên tố, bảng số nguyên tố cùng các tính chất của số nguyên tố và bài tập vận dụng. Các bạn chia sẻ nhé !
I. SỐ NGUYÊN TỐ LÀ GÌ?
1. Khái niệm:
Số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
2. Ví dụ:
7 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 7 hoặc 7 × 1, có một thừa số là chính số 7.
3. Những lưu ý về số nguyên tố
- Số nguyên tố nhỏ nhất và có 1 chữ số là số 2
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số là số 11
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số là số 101
- Số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số là số 97
- Số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số là 997
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ
Dựa vào một số tính chất cơ bản của số nguyên tố hợp số như sau sẽ giúp học sinh dễ dàng tính toán hơn:
- Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2
- Không thể giới hạn số lượng số nguyên tố cũng như tập hợp các số nguyên tố. Nói cách khác, số nguyên tố là vô hạn.
- Khi hai số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không thể là một số chính phương.
- Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
- Ước bé nhất là một số dương khác 1 của một tập hợp số b bất kỳ là một số nguyên tố nếu không vượt quá căn bậc hai của b.
III. CÁCH TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
1. Cách tìm số nguyên tố đơn giản
Có một phương pháp đơn giản để tìm số nguyên tố là chia thử nghiệm. Với cách này, bạn chỉ cần chia số cần kiểm ta theo lý thuyết số nguyên tố là được. Tuy nhiên, đây được đánh giá là phương pháp chậm, gây mất nhiều thời gian và có thể kéo theo nhiều sai số trong quá trình thực hiện.
2. Cách tìm số nguyên tố bằng thao tác lặp từng phần tử với bước nhảy 1
Với cách này, giả sử bạn cần kiểm tra số n có phải là số nguyên tố hay không thì bạn chỉ cần áp dụng các bước thực hiện như sau:
- Bước 1: Nhập vào n
- Bước 2: Kiểm tra nếu n < 2 thì đưa ra kết luận n không phải là số nguyên tố
- Bước 3: Lặp từ 2 tới (n-1), nếu bạn trong khoảng này tồn tại số mà n chia hết thì đưa ra kết luận n không phải là số nguyên tố. Nếu kết quả ngược lại n là số nguyên tố.
3. Cách tìm số nguyên tố bằng thao tác lặp từng phần tử với bước nhảy 2
Theo định nghĩa về số nguyên tố thì số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Do đó, ta sẽ dễ dàng loại được 2 ra khỏi vòng lặp, khi đó trong thân vòng lặp bạn chỉ cần kiểm tra các số lẻ. Đây là cách được đánh giá là tối ưu hơn cách 1 đáng kể.
IV: BẢNG SỐ NGUYÊN TỐ
*** Những định nghĩa khác liên quan đến số nguyên tố
– Hai số nguyên tố được gọi là số nguyên tố cùng nhau khi chúng có ước số chung lớn nhất là 1.
Ví dụ:
2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau vì có ước số chung lớn nhất là 1.
5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau vì có ước số chung lớn nhất là 1.
13 và 27 là hai số nguyên tố cùng nhau vì có ước số chung lớn nhất là 1.
6 và 27 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của chúng là 3 (khác 1).
– Một số a được gọi là số siêu nguyên tố khi bỏ một số tùy ý các chữ số bên phải của c thì phần còn lại của số c vẫn tạo thành một số nguyên tố.
Ví dụ: Số 37337 là một số siêu nguyên tố bởi vì khi ta bỏ một số 7 ở bên tay trái của số này đi, ta được số 3733 vẫn là một số nguyên tố.
V. BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN SỐ VÀ HỢP SỐ
Bài 1 : Cho p và 2p + 1 đều là số nguyên tố (p > 5) .Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số
GIẢI
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 suy ra 4p cũng không chia hết cho 3.Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 suy ra 2(2p + 1) không chia hết cho 3 hay 4p + 2 không chia hết cho 3 mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp 4p,4p + 1 , 4p + 2 có một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3 mà 4p + 1 > 3 suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 2 : Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p>3) chứng tỏ rằng p + 8 là hợp số
Giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 suy ra loại
Nếu p = 3k + 1 thì p + 7 = 3k + 8 không chia hết cho 3 suy ra 2(3k + 7) không chia hết cho 3 hay 2p + 14 không chia hết cho 3 mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 mà 2p + 14 và 2p + 15 không chia hết cho 3 suy ra 2p + 16 chia hết cho 3 hay p + 8 chia hết cho 3 suy ra p + 8 là hợp số
Bài 3 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố
Giải
Giả sử ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là p , p+ 2, p + 4
Nếu p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là số nguyên tố ( thỏa mãn )
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 (loại )
Với p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 ( loại)
Vậy chỉ có ba số là 3,5,7
Bài 4 : tìm ba số nguyên tố dạng p , p + 10 , p + 20
Giải
Ta viết p, (p + 1) + 9 , ( p + 2 ) + 18 .Trong ba số p ; p + 1 ; p + 2 luôn có một số chia hết cho 3 suy ra trong ba số p, (p + 1) + 9 , ( p + 2 ) + 18 luôn có một số chia hết cho 3 hay trong ba số
p , p + 10 , p + 20 luôn có một số chia hết cho 3 , vậy p = 3 ta có ba số đó là 3,13,
Bài 5: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số:
a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1
c/ 8765 397 639 763
Hướng dẫn
a/ Các số trên đều chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ ( số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ thì số đó chia hết cho 11. Chẳng hạn 561, 2574,…
b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tương tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 là hợp số.
Bài 6 : Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố
p + 2 và p + 10 ( HD giống câu h)
p + 10 và p + 20 ( HD giống câu h)
p + 2 và p + 94 ( HD giống câu h)
p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14
(HD p = 5 . Xét p có 5 dạng 5k , 5k + 1 , 5k +2, 5k +3 , 5k + 4
p + 2 ; p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14
(HD p = 5 . Xét p có 5 dạng 5k , 5k + 1 , 5k +2 , 5k +3 , 5k + 4
p + 4 ; P + 8
p + 2 ; p + 6 ; p + 8 ( HD p = 5
p + 2 ; p + 4 (HD số p có một trong 3 dạng 3k ,3k + 1 , 3k + 2 (k )
Nếu p = 3k thì p = 3 (vì p là nguyên tố) khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7đều là nguyên tố
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số ,trái với đề bài . nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số trái với đề bài .Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.
Bài 7:
Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố : n + 1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ;n + 13 ; n + 15 ( HD Xét n 4 và n 5 Đs n = 4)
Bài 8:
a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố
b/ Tại sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?
Hướng dẫn
a/ Với k = 0 thì 23.k = 0 không là số nguyên tố với k = 1 thì 23.k = 23 là số nguyên tố.
Với k>1 thì 23.k ⋮⋮ 23 và 23.k > 23 nên 23.k là hợp số.
b/ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì nếu có một số chẵn lớn hơn 2 thì số đó chia hết cho 2, nên ước số của nó ngoài 1 và chính nó còn có ước là 2 nên số này là hợp số.
Bài 9: Tìm một số nguyên tố, biết rằng số liền sau của nó cũng là một số nguyên tố
Hướng dẫn
Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn và một số lẻ, muốn cả hai là số nguyên tố thì phải có một số nguyên tố chẵn là số 2. Vậy số nguyên tố phải tìm là 2.
Bài 10: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?
Hướng dẫn
– Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, 1996, …, 2004
– Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001
– Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà p2<2005p2<2005 là 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
– Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại.
– Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên.
Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003
Trên đây chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học chuyên đề số nguyên tố gồm các kiến thức về khái niệm số nguyên tố, bảng số nguyên tố cùng các tính chất của số nguyên tố và bài tập vận dụng. Hi vọng, bài viết hữu ích với bạn. Cách tìm bội chung nhỏ nhất cũng đã được Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội chia sẻ rất chi tiết. Bạn nhớ tìm hiểu thêm nhé !
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
