Giải bài 3: Con lắc đơn

A. Lý thuyết

I. Thế nào là con lắc đơn?

1. Khái niệm:

Con lắc đơn là một hệ gồm một vật nhỏ khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, chiều dài l.

2. Vị trí cân bằng: 

Là vị trí mà dây treo của con lắc có phương thẳng đứng, trong hình vẽ trên là vị trí O.

II. Khảo sát dao động vủa con lắc đơn về mặt động lực học

1. Chọn hệ quy chiếu:

Chọn chiều dương từ trái qua phải.

Gốc tọa độ cong tại vị trí cân bằng O.

Gốc thời gian là thời điểm con lắc bắt đầu dao động.

Tại thời điểm t, vị trí của con lắc được xác định bởi li độ góc $\alpha = \widehat{OQD}$ (hoặc li độ cung s = cung OD = l.$\alpha $) (s và $\alpha $ có giá trị dương).

2. Các lực tác dụng vào con lắc:

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ và lực căng dây $\overrightarrow{T}$.

Phân tích trọng lực $\overrightarrow{P}$ thành 2 thành phần: 

• $\overrightarrow{P_{n}}$: Thành phần theo phương vuông góc với quỹ đạo.
• $\overrightarrow{P_{t}}$: Thành phần theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo.

Lực căng dây $\overrightarrow{T}$ và thành phần $\overrightarrow{P_{n}}$ vuông góc với quỹ đạo nên không làm thay đổi vận tốc của vật.

Lực kéo về: $\overrightarrow{P_{t}} = – m.g.\sin \alpha $ (*)

Từ (*) ta thấy, dao động của con lắc đơn nhìn chung không phải là dao động điều hòa.

Khi góc $\alpha $ rất nhỏ, lực kéo về tỉ lệ thuận với li độ, lúc này, con lắc đơn dao động điều hòa theo phương trình:

$s = s_{0}. \cos (\omega t + \varphi )$

với chu kì: $T = 2\pi .\sqrt{\frac{l}{g}}$, biên độ dao động: $s_{0} = l.\alpha _{0}$

III. Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt năng lượng

1. Động năng của con lắc đơn: 

Là động năng của vật (coi là chất điểm)

$W_{đ} = \frac{1}{2}.m.v^{2}$

2. Thế năng của con lắc đơn:

Là thế năng trọng trường của vật.

Chọn mốc thế năng là vị trí cân bằng, thế năng của con lắc đơn ở vị trí li độ góc $\alpha $ được tính theo công thức sau:

$W_{t} = m.g.l.(1 – \cos \alpha )$

3. Cơ năng của con lắc đơn: 

Cơ năng của con lắc đơn là tổng động năng và thế năng của nó. Nếu bỏ qua mọi ma sát, cơ năng của vật được bảo toàn.

$W = \frac{1}{2}.m.v^{2} + m.g.l.(1 – \cos \alpha )$ = const

IV. Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do

Trong thực tế, các nhà khoa học ứng dụng con lắc đơn vào việc xác định gia tốc trọng trường của một địa điểm nào đó. Khi các yếu tố của con lắc như chiều dài l (m) của con lắc, chu kì dao động T (s) của con lắc bằng các phép đo thực nghiệm; ta có thể xác định gia tốc rơi tự do theo công thức:

$g = \frac{4\pi ^{2}.l}{^{T^{2}}}$