Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức cũng là dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm hoặc lớn hơn hay nhỏ hơn 1 số nào đó.
Cụ thể cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức như thế nào? Chúng ta sẽ tìm hiểu qua bài viết dưới đây để 1ua đó vận dụng giải một số bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
I. Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
• Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:
i) A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức A
ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhận giá trị k.
• Tương tự, cho biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:
i) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.
ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h.
* Lưu ý: Khi làm bài toán tìm GTLN và GTNN học sinh thường phạm phải hai sai lầm sau:
1) Khi chứng minh được i), học sinh vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện ii)
2) Đã hoàn tất được i) và ii), tuy nhiên, học sinh lại quên đối chiếu điều kiện ràng buộc của biến.
Hiểu đơn giản, bài toán yêu cầu xét trên một tập số nào đó của biến (tức là thêm các yếu tố ràng buộc) mà học sinh không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước ii) lại nằm ngoài tập cho trước đó.
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 1)2 – 3
Giả sử lời giải như sau:
Vì (x2 + 1)2 ≥ 0 nên (x2 + 1)2 – 3 ≥ -3 ⇔ A ≥ -3
Kết luận giá trị nhỏ nhất của A bằng -3.
→ Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm 1) ở trên, tức là quên kiểm tra điều kiện ii).
Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có (x2 + 1)2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra được với mọi giá trị của biến x.
* Ví dụ 2: Với x là số nguyên không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + 2)2 – 5.
Giả sử lời giải như sau:
Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên (x + 2)2 – 5 ≥ – 5 ⇔ A ≥ – 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Kết luận GTNN của A = -5 khi x = -2.
→ Kết luận như vậy mắc phải sai lầm 2) ở trên, vì bài toán cho x là số nguyên không âm nên x sẽ không nhận giá trị x = -2 để min(A) = -5 được.
Như vậy các em cần lưu ý khi tìm GTLN và GTNN của một biểu thức (A) thì biểu thức (A) đạt GTLN hay GTNN đó khi biến (x) nhận giá trị bằng bao nhiêu, giá trị này có thỏa ràng buộc biến của bài toán hay không sau đó mới kết luận.
II. Bài tập tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
• Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có dạng tam thức bậc 2
Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do, dạng:
- d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất.
- (a ± b)2 ± c ≥ ± c Ta tìm được giá trị nhỏ nhất.
* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (x – 3)2 + 5
> Lời giải:
– Vì (x – 3)2 ≥ 0 ⇔ (x – 3)2 + 5 ≥ 5 ⇔ A ≥ 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A = 5 xảy ra khi x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
Kết luận: GTNN của A là 5 đạt được khi x = 3.
* Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2x2 – 8x + 3
> Lời giải:
– Ta có: A = 2x2 – 8x + 3 = 2x2 – 8x + 8 – 5
⇔ A = 2x2 – 8x + 8 – 5
⇔ A = 2(x2 – 4x + 4) – 5
⇔ A = 2(x – 2)2 – 5
Vì (x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 – 5 ≥ -5
Dấu “=” xảy ra khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.
Kết luận: GTNN của A là 5 đạt được khi x = 2.
* Bài tập 3: Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2 – 6x
> Lời giải:
– Ta có: A = 2x2 – 6x
Vì
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy GTNN của A bằng -9/2 đạt được khi x = 3/2
* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: B = 2 + 4x – x2
> Lời giải:
– Ta có: B = 2 + 4x – x2 = 6 – 4 + 4x – x2
= 6 – (4 – 4x + x2) = 6 – (2 – x)2
Vì (2 – x)2 ≥ 0
⇒ -(2 – x)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)
⇒ 6 – (2 – x)2 ≤ 6 (cộng hai vế với 6)
Vậy GTLN của biểu thức B bằng 6 đạt được khi (2 – x)2 = 0 ⇒ x = 2.
* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: C = 2x – x2
> Lời giải:
– Ta có: C = 2x – x2 = -x2 + 2x – 1 + 1
= 1 – (x2 – 2x + 1) = 1 – (x – 1)2
Vì (x – 1)2 ≥ 0
⇒ -(x – 1)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)
⇒ 1 – (x – 1)2 ≤ 1 (cộng hai vế với 1)
Vậy GTLN của biểu thức C bằng 1 đạt được khi (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1
• Dạng 2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có chứa dấu trị tuyệt đối
Phương pháp: Đối với dạng tìm GTLN, GTNN này ta có hai cách làm sau:
+) Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
+) Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
∀x, y ∈ Q ta có:
- |x + y| ≤ |x| + |y| Dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0
- |x – y| ≤ |x| – |y|
* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10
> Lời giải:
– Đặt y = |2x – 1| ⇒ y2 = (2x – 1)2
– Ta có: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10 = y2 – 6y + 10
= y2 -2.3.y + 9 + 1 = (y – 3)2 + 1
Vì (y – 3)2 ≥ 0 ⇒ (y – 3)2 + 1 ≥ 1.
min(A) = 1 khi chỉ khi (y – 3)2 = 0 ⇔ y = 3 ⇔ |2x – 1| = 3
⇔ 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3
⇔ 2x = 4 hoặc 2x = -2
⇔ x = 2 hoặc x = -1.
Kết luận: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 2 hoặc x = -1.
* Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = |x – 1| + |x – 3|
> Lời giải:
– Lưu ý rằng |-a| = |a|, nên ta có:
B = |x – 1| + |x – 3| = |x – 1| + |3 – x| ≥ | x – 1 + 3 – x| = 2.
Suy ra: B ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0
⇔ x – 1 ≥ 0 và 3 – x ≥ 0;
hoặc x – 1 ≤ 0 và 3 – x ≤ 0
⇔ (x ≥ 1 và 3 ≥ x)
hoặc (x ≤ 1 và 3 ≤ x)
⇔ 1 ≤ x ≤ 3
* Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:
a) A = x2 – 8x + 19
b) B = x2 – 10x + 27
c) C = x2 – 2x + y2 + 4y + 8
* Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất các biểu thức sau:
a) A = 10x – 2x2
b) B = 5 – 6x – x2
c) C = -x2 + 8x + 6
* Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức (nếu có)
a) A = |x – 2020| + |x – 2021|
b) B = |x – 3| + |x – 4| + 2019
Hy vọng qua bài viết về cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn và không còn ái ngại mỗi khi gặp dạng toán này.
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
Monitor Closely 1 ferric citrate will decrease the level or effect of ofloxacin by drug binding in GI tract levitra se necesita receta
One of the reasons why we love this product is because it s natural to use and doesn t require any additional purchases of test strips propecia fast delivery The information provided in Overdose of Tamoxifen ratiopharm is based on data of another medicine with exactly the same composition as the Tamoxifen ratiopharm
Rarely is it possible to establish a definitive causal link between statins and muscle pain, although causality may be suspected how to buy priligy in usa
can priligy cure pe 4, 282 290 2017
prednisone 1 mg tablet
Alia tempora — Другие времена
http://batmanapollo.ru
augmentin 457 price
Психическое здоровье включает в
себя наше эмоциональное, психологическое и социальное благополучие.
Это влияет на то, как мы думаем, чувствуем и действуем.
Оно также помогает определить, как мы справляемся со стрессом, относимся к другим и делаем здоровый выбор.
Психическое здоровье важно на каждом этапе жизни:
с детства и подросткового возраста до взрослой жизни.ние) — специалист, занимающийся изучением проявлений, способов и форм организации психических явлений личности в различных областях человеческой деятельности для решения научно-исследовательских и прикладных задач, а также с целью
оказания психологической помощи, поддержки
и сопровождения.
buy propecia 1mg online uk
buy allopurinol tablets
ivermectin cost australia
gabapentin generic brand
sildenafil 25 mg prices
buy online viagra capsules
generic propecia no prescription
Получите перетяжку мягкой мебели с гарантией качества
Перетяжка мягкой мебели : простой способ обновить интерьер
Высокое обслуживание перетяжки мягкой мебели
Перетяжка мягкой мебели обновить диван или кресло
перетяжка мебели https://www.peretyazhkann.ru.
Онлайн магазин мобильных гаджетов: надежный и быстрый сервис
магазин – мобильный магазин.
Перетянуть мягкую мебель в доме: Обновить новый вид старой мебели: секреты перетяжки перетягивать мебель своими руками: Нюансы ткани для перетяжки мягкой мебели: секреты выбора
перетяжка мягкой мебели.
Интерьер без границ: перетяжка мягкой мебели для оригинального дизайна
Отремонтировать мягкую мебель в доме: Обновить новый вид старой мебели: секреты перетяжки перетягивать мебель своими руками: полезные советы ткани для перетяжки мягкой мебели: секреты выбора
обивка мебели.
Перетяжка мягкой мебели: практичные советы для начинающих
synthroid 0.05 mg
Дети дошкольники картинки. Книги связанные с психологией
человека. Черно белое как называется. Любой человек рождается как личность биологическое существо индивидуальность рост и развитие жизни.
Предметом психологии. Характеристика человека как индивида является.
Общая характеристика человека является индивид так ли это.
Сделать пресс на фото онлайн.
toradol for tooth pain
Преобразуйте мебель с помощью перетяжки
перетяжка мягкой мебели https://peretyazhka-mebeli-v-minske.ru/.
Расслабьтесь с мягкой мебелью в вашем доме
мебель https://murom-mebel-tula.ru/.
Индивидуальный подход к перетяжке мебели: ваш выбор
обивка мягкой мебели ремонт мягкой мебели.
Каких цветов не существует в природе.
Типы личности эннеаграмма тест.
К чему снится что на тесте 2 полоски. Человек это кто или что. Основными функциями психики являются.
Https того. Понятие человек в
педагогике. Фрагментарность восприятия.
Доступные цены на ремонт холодильников
ремонт холодильников ремонт холодильника.
cost of augmentin
medicine inderal 10
дверь техническая металлическая https://texnicheskiedveri.ru/.
обивка мебели в минске https://peretyazhka-bel.ru/.
Hello there, I found your website by the use of Google whilst searching for a comparable subject, your website got here up,
it seems to be great. I have bookmarked it in my google bookmarks.
Hi there, simply turned into aware of your
weblog thru Google, and found that it is really informative.
I’m gonna watch out for brussels. I’ll appreciate in case you proceed
this in future. Lots of people will probably be
benefited from your writing. Cheers!
Соловьев вчерашний вечер. Вечер с соловьевым прямой эфир сегодня. Вечер
с владимиром соловьевым последний смотреть онлайн бесплатно.
Соловьев вечер с владимиром соловьевым последний
выпуск. Соловьев вечер вчера.
wegovy order
buy ozempic uk
ремонт офисных кресел https://peretyazhka-mebeli-minsk.ru/.
buy rybelsus
обивка мягкой мебели https://peretyazhka-mebeli-minsk.ru/.
Обратившись к нашей компании, вы гарантируете себе доступ к высококачественных юридических консультаций от опытных специалистов. Узнайте больше на нашем сайте по ссылке
пенсия сотрудникам полиции.
При выборе нашего агентства, вы обеспечите себе получение профессиональных юридических услуг от опытных специалистов. Узнайте больше на нашем сайте по ссылке
стаж работы в мвд.
Улучшение интерьера за счет перетяжки мебели
ремонт мебели в минске https://peretyazhka-mebeli-vminske.ru/ .
Перетяжка мягкой мебели
ремонт мягкой мебели https://peretyazhka-mebeli-vminske.ru/ .
Top games that offer real money in Kenya
online casino games that pay real money online casino games that pay real money .
Greetings! I know this is kind of off topic but I was wondering
if you knew where I could locate a captcha plugin for my
comment form? I’m using the same blog platform as yours and I’m having difficulty
finding one? Thanks a lot!
wegovy canada pharmacy
generic rybelsus for weight loss
Как правильно выбрать рулонный газон?
рулонный газон цена https://rulonnyj-gazon77.ru/ .
Красивая и уютная мебель – это реально! Перетяжка в Минске
обивка мягкой мебели https://peretyazhka-mebeli-vminske.ru/ .
ozempic semaglutide
semaglutide xl
Как повысить узнаваемость бренда строительной компании?
продвижение строительного сайта https://seo-prodvizhenie-sajtov-stroitelnyh-kompanij.ru/ .
semaglutide for diabetes
Stomatologurmonsk Современные технологии
Какие профилактические меры помогут избежать проблем со здоровьем зубов?
http://baikal-biz.ru/forum/viewtopic.php?f=15&t=23525&p=182106#p182106 .
ozempic tablets for weight loss cost
Перетяжка мягкой мебели
https://korden.org/companies/56891 .
Экспресс ремонт холодильников марки Атлант по выгодной цене.
ремонт холодильников атлант в минске ремонт холодильников атлант .
Секреты выбора лучшего онлайн казино в Беларуси: критерии оценки
лучшие онлайн казино беларуси лучшие онлайн казино беларуси .
Hey There. I discovered your weblog using msn. That is a very smartly written article.
I will be sure to bookmark it and come back to learn more of your useful info.
Thank you for the post. I will certainly comeback.
Онлайн казино с быстрыми выплатами в Беларуси: безопасные транзакции
онлайн казино беларусь онлайн казино беларусь .
40 mg cialis online
Преврати свою старую мебель в новую! Перетянем ее в Минске
перетяжка офисного кресла https://obivka-mebeli-vminske.ru/ .
Надежная перетяжка мебели в Минске по доступной цене
перетяжка минск https://obivka-mebeli-vminske.ru/ .
Самые надежные онлайн казино в Беларуси: проверенные заведения
онлайн казино беларусь онлайн казино беларусь .
Хочешь обновить интерьер? Перетянем твою мебель в Минске
ремонт диванов https://obivka-mebeli-vminske.ru/ .
glucophage price canada
Надежная перетяжка мебели в Минске по доступной цене
ремонт мебели https://obivka-divana.ru/ .
Ремонт и перетяжка мягкой мебели в Минске: качество гарантируем
перетяжка мебели тканью https://obivka-divana.ru/ .
Хотите эксклюзивную мебель? Перетянем ее в Минске
ремонт диванов https://obivka-divana.ru/ .
Как выбрать мастера для перетяжки мебели в Минске? Легко!
обтяжка мебели https://obivka-divana.ru/ .
?Juega gratis y gana en el casino con el bono sin deposito!
casino online con bono de bienvenida sin deposito bono casino sin deposito .
can you buy prednisone over the counter in canada
Gana premios con el bono casino sin deposito
bono de casino sin deposito casino online con bono sin deposito .
prednisone 30 mg tablet