Công thức giải nhanh cấp số cộng
Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d
Giải thích:
- Kí hiệu d được gọi là công sai
- Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
- Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.
+ Tính chất:
Ví dụ:
Dãy số 3;6;9;12;153;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:
6=3+39=6+312=9+315=12+36=3+39=6+312=9+315=12+3
Đây là CSC có công sai d=4d=4 và số hạng đầu u1=3u1=3.
2. Số hạng tổng quát
un=u1+(n–1)d,(n≥2)un=u1+(n–1)d,(n≥2).
d=un−u1n−1d=un−u1n−1.
Ví dụ:
Cho CSC (un)(un) biết u1=−1,d=3u1=−1,d=3. Tìm u20u20.
Ta có:
u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56
3. Tính chất
4. Tổng nn số hạng đầu
Bài tập cấp số cộng minh họa
Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giảiDựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.
Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn giải
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm
Phân dạng bài tập cấp số cộng
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.
Bước 2: Kết luận:
- Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.
- Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.
Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng
Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d
Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên
Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.
Bài tập cấp số cộng
Bài 1. [Đề tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2–u1=6
Bài 2: [Đề thi thử toán 2021 sở GD Hà Nội] Cho một CSC có u1=–3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giải
u6=27⇔u1+5d=27⇔–3+5d=27⇔d=6
Bài 3: [Đề thi thử toán 2021 Chuyên PBC] Cho một CSC có u1=13;u8=26 Tìm d?
Hướng dẫn giải
u8=26⇔u1+7d=26
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.
3. Tính S=u4+u5+…+u30.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100=u1+99d=–295
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
1. Xác định công sai?
2. Tính tổng S=u5+u7+…+u2011
Hướng dẫn giải
1. Ta có:
Cách để Tìm tổng của cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.
Đánh giá cấp số cộng của bạn
Cần biết chắc là bạn có một cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số liên tiếp, trong đó sự sai khác giữa các số hạng là hằng số. [1] Phương pháp này chỉ đúng khi dãy số của bạn là cấp số cộng.
- Để xác định liệu bạn có cấp số cộng hay không, hãy tìm sai khác giữa vài số hạng đứng đầu dãy số và giữa những số hạng đứng cuối dãy số. Đảm bảo sai khác đó không thay đổi.
- Ví dụ, dãy số 10, 15, 20, 25, 30 là một cấp số cộng vì sai khác giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.
Tính số số hạng trong cấp số cộng
Mỗi số trong cấp số cộng được gọi là số hạng. Nếu chỉ có một vài số hạng thì bạn có thể đếm. Mặt khác, nếu bạn biết số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng và công sai (sai số giữa mỗi số hạng), bạn có thể dùng công thức để tính số số hạng. Hãy đặt số số hạng phải tìm là biến số {displaystyle n}
.
- Giả sử nếu bạn tính tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 thì {displaystyle n=5}
, vì có 5 số hạng trong cấp số cộng.
Xác định số hạng đầu tiên và cuối cùng của cấp số cộng
Bạn cần biết cả hai số hạng này để tính tổng cấp số cộng. Thường thì số hạng đầu tiên sẽ là 1 nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Hãy đặt biến số 
là số hạng đầu tiên của cấp số cộng và 
là số hạng cuối của cấp số cộng.
- Chẳng hạn, trong cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30,
, và 
.
Tính tổng
Viết công thức tính tổng cấp số cộng
Công thức sẽ là:
trong đó {displaystyle S_{n}}
là tổng của cấp số cộng.[2]
- Chú ý là công thức này cho biết tổng cấp số cộng bằng trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối nhân với số số hạng.
Thay các giá trị của n, a1, và an vào công thức
Đảm bảo bạn thay số chính xác.
- Ví dụ, nếu bạn có 5 số hạng trong cấp số cộng, 10 là số hạng đầu, và 30 là số hạng cuối, công thức sẽ như sau:
.
Tính trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối
Để làm phép tính này, bạn hãy cộng hai số trên và chia cho 2.
- Ví dụ:
Nhân trung bình cộng của hai số với số số hạng trong dãy số
Bạn sẽ được tổng của cấp số cộng.
- Ví dụ:
Như vậy, tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 là 100.
Hoàn thành các bài toán mẫu
Tìm tổng của các số từ 1 đến 500. Hãy coi các số này đều là số nguyên liên tiếp.
- Xác định số số hạng () trong cấp số cộng. Vì ta đang coi là dãy số nguyên liên tiếp đến 500 nên
. - Xác định số hạng đầu () và số hạng cuối () trong cấp số cộng. Do cấp số cộng là dãy số từ 1 đến 500 nên
và 
. - Tìm trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
.
- Tìm số số hạng () trong cấp số cộng. Vì số hạng đầu bạn có là 3, số hạng cuối là 24 và mỗi số cách nhau 7 đơn vị, nên dãy số sẽ là 3, 10, 17, 24. (Công sai là sai khác giữa mỗi số hạng trong cấp số cộng). Điều đó có nghĩa là
- Tìm số hạng đầu () và số hạng cuối () của cấp số cộng. Vì cấp số cộng là dãy số từ 3 đến 24 nên
và 
. - Tính trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
.
Giải bài toán sau đây
Mara tiết kiệm 5 đô la trong tuần đầu tiên của năm. Trong khoảng thời gian còn lại của năm, cô ấy tăng số tiền tiết kiệm hằng tuần thêm 5 đô la mỗi tuần. Hỏi đến cuối năm Mara tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
- Tìm số số hạng () trong cấp số cộng. Vì Mara tiết kiệm trong 52 tuần (1 năm) nên
. - Tìm số hạng đầu () và số hạng cuối () của cấp số cộng. Số tiền tiết kiệm ban đầu là 5 đô la, vậy
. Để tìm số tiền tiết kiệm vào tuần cuối cùng trong năm, ta làm phép tính 
. Vậy 
. - Tính trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
. Như vậy, đến cuối năm, Mara tiết kiệm được 7.046 đô la.
Các công thức liên quan đến cấp số cộng
Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể
– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:
ak = a + (k-1)d.
– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.
Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:
Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai] + 1
Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số
Phương pháp:
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b.
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac = 
– Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua 
– Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua
Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:
– Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
– Sử dụng tính chất của cấp số:
i) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b
ii) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN ac =
Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số
Phương pháp:
i) theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b
ii) theo thứ tự đó lập thành CSN ac =
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
872283 402750Oh my goodness! an incredible write-up dude. A lot of thanks Even so My business is experiencing trouble with ur rss . Do not know why Struggle to sign up to it. Can there be everyone finding identical rss dilemma? Anyone who knows kindly respond. Thnkx 491684
ดีมากเลยครับสำหรับ ข้อมูล
มีประโยชน์ เกี่ยวกับเรื่อง พวงหรีดงานศพ
หลังจากอ่าน ถือว่า ไม่ซับซ้อน
จริงๆ
ทำให้ผม เข้าใจ เรื่อง การเลือกพวงหรีด ง่ายขึ้น
ก่อนหน้านี้ ไม่ค่อยเข้าใจ เรื่อง พวงหรีด มากนัก
แต่เนื้อหานี้ ตอบโจทย์มาก
ช่วงนี้ กำลังหา พวงหรีดดอกไม้ พอดีเลย
คิดว่า เนื้อหานี้ ช่วยได้จริง
ถ้าใคร กำลังดู พวงหรีดดอกไม้ บทความนี้ตอบโจทย์
Feel free to visit my webpage – ขายพวงหรีด
ขอบคุณที่แชร์ ข้อมูล
ดีๆ เกี่ยวกับ พวงหรีด
หลังจากอ่าน บอกเลยว่า เคลียร์ดี จริงๆ
ทำให้ผม เห็นภาพ เรื่อง รูปแบบพวงหรีด มากขึ้น
ที่ผ่านมา ไม่ค่อยเข้าใจ
เรื่อง พวงหรีด มากนัก
แต่เนื้อหานี้ ช่วยได้เยอะ
กำลัง กำลังเลือก พวงหรีดงานศพ พอดีเลย
เลยรู้สึกว่า โพสต์นี้ เอาไปใช้ได้เลย
แนะนำคนที่ กำลังดู พวงหรีดดอกไม้ น่าจะช่วยได้เยอะ
Also visit my webpage ขายพวงหรีด
ขอบคุณมากสำหรับ เนื้อหา มีประโยชน์ ในเรื่อง พวงหรีดดอกไม้
ลองอ่านดูแล้ว มองว่า เข้าใจง่าย เลย
ทำให้คนที่อ่าน รู้ เรื่อง การเลือกพวงหรีด
ได้ดีขึ้น
ที่ผ่านมา ไม่ค่อยรู้ เรื่อง พวงหรีด เท่าไหร่
พอได้อ่านบทความนี้ ทำให้เข้าใจขึ้น
พอดี กำลังหา พวงหรีดงานศพ พอดีเลย
เลยรู้สึกว่าโพสต์นี้ มีประโยชน์มาก
ถ้าใคร กำลังหา พวงหรีดงานศพ บทความนี้ตอบโจทย์
my webb page: ขายพวงหรีด
ขอบคุณที่แชร์ ข้อมูล ดีๆ เกี่ยวกับเรื่อง พวงหรีด
พอได้อ่านแล้ว ถือว่า ไม่ซับซ้อน สุดๆ
ทำให้คนที่อ่าน รู้ เกี่ยวกับ การเลือกพวงหรีด ชัดขึ้น
เมื่อก่อน ไม่ค่อยเข้าใจ เรื่อง พวงหรีด จริงๆ
พอได้อ่านบทความนี้ ตอบโจทย์มาก
ตอนนี้ กำลังเลือก พวงหรีด อยู่เหมือนกัน
ถือว่า โพสต์นี้ ใช้ได้จริง
สำหรับคนที่ กำลังหา พวงหรีดงานศพ น่าจะช่วยได้เยอะ
My web blog: ขายพวงหรีด
ขอบคุณสำหรับ โพสต์ ดีๆ
เกี่ยวกับ การเลือกพวงหรีด
อ่านแล้ว รู้สึกว่า ไม่ซับซ้อน เลย
ทำให้คนที่อ่าน เห็นภาพ
เรื่อง การเลือกพวงหรีด มากขึ้น
เมื่อก่อน ไม่ค่อยรู้ เกี่ยวกับ พวงหรีดดอกไม้ จริงๆ
แต่บทความนี้ ทำให้เข้าใจขึ้น
พอดี กำลังดู พวงหรีดงานศพ อยู่เหมือนกัน
บอกเลยว่า โพสต์นี้ ใช้ได้จริง
สำหรับคนที่ กำลังเลือก พวงหรีดงานศพ บทความนี้ตอบโจทย์
ขอบคุณที่แชร์ บทความ
มีประโยชน์ ในเรื่อง
พวงหรีดงานศพ
ลองอ่านดูแล้ว บอกเลยว่า อธิบายชัด จริงๆ
ทำให้คนที่อ่าน เข้าใจ เรื่อง การเลือกพวงหรีด ได้ดีขึ้น
ที่ผ่านมา ไม่ค่อยมีข้อมูล เรื่อง พวงหรีดดอกไม้ เลย
แต่เนื้อหานี้ ตอบโจทย์มาก
ตอนนี้ กำลังเลือก พวงหรีดงานศพ อยู่เลย
คิดว่า เนื้อหานี้ เอาไปใช้ได้เลย
แนะนำคนที่ กำลังเลือก พวงหรีดงานศพ บทความนี้ตอบโจทย์
ขอบคุณสำหรับ บทความ คุณภาพ
ในเรื่อง พวงหรีดงานศพ
ลองอ่านดูแล้ว บอกเลยว่า เข้าใจง่าย จริงๆ
ช่วยให้หลายคน รู้ เกี่ยวกับ การเลือกพวงหรีด มากขึ้น
ที่ผ่านมา ไม่ค่อยเข้าใจ เรื่อง พวงหรีด เท่าไหร่
พอได้อ่านบทความนี้ ให้ความรู้ดีมาก
ช่วงนี้ กำลังมองหา พวงหรีดดอกไม้ อยู่เลย
เลยรู้สึกว่า เนื้อหานี้ มีประโยชน์มาก
แนะนำคนที่ กำลังดู พวงหรีดดอกไม้ บทความนี้ตอบโจทย์
Look into my web site ขายพวงหรีด
ขอบคุณมากสำหรับ เนื้อหา ที่มีประโยชน์มาก ในเรื่อง
พวงหรีดดอกไม้
พอได้อ่านแล้ว บอกเลยว่า เคลียร์ดี เลย
ช่วยให้ผม เข้าใจ เกี่ยวกับ รูปแบบพวงหรีด มากขึ้น
ปกติ ไม่ค่อยรู้ เรื่อง พวงหรีดดอกไม้ เท่าไหร่
แต่เนื้อหานี้ ให้ความรู้ดีมาก
ตอนนี้ กำลังเลือก พวงหรีดดอกไม้ พอดีเลย
ถือว่า เนื้อหานี้ ช่วยได้จริง
แนะนำคนที่ กำลังเลือก พวงหรีดงานศพ น่าจะช่วยได้เยอะ
my web page – ขายพวงหรีด
ขอบคุณที่แชร์ โพสต์ ดีๆ เกี่ยวกับเรื่อง พวงหรีดงานศพ
หลังจากอ่าน รู้สึกว่า อธิบายชัด
มาก
ทำให้คนที่อ่าน เห็นภาพ เรื่อง พวงหรีดที่เหมาะสม ได้ดีขึ้น
เมื่อก่อน ไม่ค่อยเข้าใจ
เรื่อง พวงหรีดดอกไม้ เท่าไหร่
แต่บทความนี้ ให้ความรู้ดีมาก
ช่วงนี้ กำลังเลือก พวงหรีด
อยู่เหมือนกัน
คิดว่า บทความนี้
เอาไปใช้ได้เลย
แนะนำคนที่ กำลังหา พวงหรีดงานศพ บทความนี้ตอบโจทย์
Feel frere to surf to my site …ขายพวงหรีด
ขอบคุณสำหรับบทความดีๆเกี่ยวกับพวงหรีด
Check out my page: พวงหรีด วัดธาตุทอง
ขอบคุณที่แบ่งปันรายละเอียดการจัดพวงหรีดดอกไม้สด ละเอียดมาก ดีต่อคนที่กำลังมองหาไอเดีย
Review my blog post สั่งพวงหรีด วัดธาตุทอง
ขอบคุณที่แชร์ ข้อมูล มีประโยชน์
เกี่ยวกับ พวงหรีดงานศพ
ลองอ่านดูแล้ว บอกเลยว่า
ไม่ซับซ้อน จริงๆ
ช่วยให้ผม เข้าใจ เกี่ยวกับ รูปแบบพวงหรีด
ชัดขึ้น
ปกติ ไม่ค่อยรู้ เกี่ยวกับ พวงหรีด เท่าไหร่
พอได้อ่านบทความนี้ ช่วยได้เยอะ
พอดี กำลังดู พวงหรีดดอกไม้ อยู่พอดี
บอกเลยว่า โพสต์นี้ มีประโยชน์มาก
ใครที่กำลัง กำลังเลือก พวงหรีดดอกไม้ น่าจะช่วยได้เยอะ
ขอบคุณสำหรับบทความดีๆ เกี่ยวกับพวงหรีดดอกไม้สด
Also viosit my homepage; พวงหรีดวัดธาตุทอง
เป็นบทความที่อ่านแล้วได้ไอเดียวิธีเลือกพวงหรีดดอกไม้ เหมาะสมกับงานจริงๆ
My web blog … สั่งพวงหรีด วัดธาตุทอง
เป็นบทความที่ช่วยแนะนำวิธีเลือกพวงหรีด สวยงามกับงานจริงๆ
my homepage – ร้านพวงหรีด วัดธาตุทอง
บทความนี้ดีมาก ช่วยให้เลือกพวงหรีดได้ง่ายขึ้น
Visit my homepage Aorest
ขอบคุณสำหรับ เนื้อหา คุณภาพ เกี่ยวกับ พวงหรีดดอกไม้
ลองอ่านดูแล้ว บอกเลยว่า
เคลียร์ดี เลย
ทำให้ผม เห็นภาพ
เรื่อง รูปแบบพวงหรีด ชัดขึ้น
ก่อนหน้านี้ ไม่ค่อยมีข้อมูล เกี่ยวกับ พวงหรีด มากนัก
แต่บทความนี้ ให้ความรู้ดีมาก
ตอนนี้ กำลังดู พวงหรีด อยู่เหมือนกัน
ถือว่า เนื้อหานี้
ใช้ได้จริง
แนะนำคนที่ กำลังหา พวงหรีดดอกไม้ ควรดูไว้เลย
311808 204214thank you dearly author , I found oneself this internet internet site very helpful and its full of excellent healthy selective data ! , I as well thank you for the great food program post. 815326
ขอบคุณที่แชร์ บทความ มีประโยชน์ เกี่ยวกับ พวงหรีดงานศพ
หลังจากอ่าน มองว่า เข้าใจง่าย จริงๆ
ทำให้ผม รู้ เรื่อง การเลือกพวงหรีด ได้ดีขึ้น
ที่ผ่านมา ไม่ค่อยมีข้อมูล
เรื่อง พวงหรีดดอกไม้ จริงๆ
แต่เนื้อหานี้ ตอบโจทย์มาก
พอดี กำลังดู พวงหรีดดอกไม้ พอดีเลย
เลยรู้สึกว่า โพสต์นี้ ช่วยได้จริง
แนะนำคนที่ กำลังดู พวงหรีดงานศพ ควรดูไว้เลย
Alsoo visit my web-site –ขายพวงหรีด
บทความนี้ให้ข้อมูลมีประโยชน์มากครับ ถ้าใครกำลังมองหาผู้ให้บริการตกแต่งงานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี
ๆ ครับ
Here is my website; เปลี่ยนยาง นนทบุรี [google.com.sb]
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาผู้ให้บริการตกแต่งงานศพ
ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Feell free to surf to my blokg post – portanapat.com
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาผู้ให้บริการตกแต่งงานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
my web blog: ดูเพิ่มเติม
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ
ครับ ถ้าใครกำลังมองหาผู้ให้บริการตกแต่งงานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
My web-site portanapat.com
ขอบคุณมากสำหรับ โพสต์
ที่มีประโยชน์มาก เกี่ยวกับเรื่อง พวงหรีดงานศพ
อ่านแล้ว ถือว่า
เคลียร์ดี เลย
ทำให้ผม รู้ เกี่ยวกับ การเลือกพวงหรีด ได้ดีขึ้น
ปกติ ไม่ค่อยรู้ เรื่อง พวงหรีด เลย
แต่เนื้อหานี้ ให้ความรู้ดีมาก
กำลัง กำลังมองหา พวงหรีด พอดีเลย
บอกเลยว่า โพสต์นี้ เอาไปใช้ได้เลย
ถ้าใคร กำลังหา พวงหรีด ควรดูไว้เลย
Feel freee to surf to my web blog: ขายพวงหรีด
497257 386089This really is sensible info! Where else will if ind out a lot more?? Who runs this joint too? sustain the excellent work 278551
จัดว่าเป็นเนื้อหาที่เรียบเรียงได้ดีทีเดียวครับ ผมเองเคยสั่งซื้อพวงหรีดผ้าขนหนูจาก ร้านพวงหรีด Aorwst มาบ้าง งานเนี้ยบเสมอมา ที่สำคัญเรื่องการจัดส่งสินค้าที่ไวมาก สั่งวันนี้ส่งทันเวลางาน คนที่สนใจร้านพวงหรีดที่ไว้ใจได้ลองสั่งดูครับ
My web-site … ดอกไม้งานศพ วังทองหลาง
ขอบคุณมากสำหรับความรู้ที่มีประโยชน์นะครับ ถือเป็นเรื่องที่น่ารู้สำหรับผู้อ่านเลยจริงๆ
Also visit my web site; https://Escatter11.fullerton.edu/nfs/show_user.php?userid=9761543
ขอบคุณค่ะสำหรับบทความน่าสนใจค่ะ นับเป็นเรื่องที่น่ารู้กับทุกคนเลยครับ
Feel free to surf to my webpage: Boonforal
ขอบคุณสำหรับข้อมูลดีๆค่ะ นับเป็นประโยชน์มากกับคนทั่วไปเลยครับ
my page :: จัดดอกไม้งานศพ
ขอบคุณครับสำหรับบทความน่าสนใจค่ะ เป็นข้อมูลที่หาอ่านยากสำหรับคนทั่วไปเลยครับ
Here is my site … Boonforal
ขอบคุณครับสำหรับเนื้อหาน่าสนใจค่ะ นับเป็นเรื่องที่น่ารู้สำหรับพวกเราเลยทีเดียว
my homepage – https://Maps.google.cat
ขอบคุณสำหรับสาระดีๆที่เป็นประโยชน์ครับ เป็นสิ่งที่ควรรู้กับคนทั่วไปเลยทีเดียว
my blog – ดอกไม้งานศพ
ขอบคุณสำหรับสาระดีๆที่แชร์มานะคะ ถือเป็นข้อมูลที่หาอ่านยากสำหรับพวกเราเลยทีเดียว
Look at my blog: Boonforal
ขอบพระคุณสำหรับข้อมูลดีๆค่ะ ถือเป็นเรื่องที่น่ารู้สำหรับทุกคนเลยจริงๆ
Feeel free to visit my page: จัดดอกไม้งานศพ
ขอบคุณครับสำหรับสาระดีๆน่าสนใจครับ
เป็นสิ่งที่ควรรู้กับพวกเราเลยค่ะ
Also visit my web blog … จัดดอกไม้งานศพ
ขอบคุณค่ะสำหรับบทความดีๆนะคะ ถือเป็นสิ่งที่ควรรู้กับคนทั่วไปเลยค่ะ
Feel free to surf to my homepage :: Boonforal
ขอบคุณสำหรับความรู้ที่มีประโยชน์ค่ะ ถือเป็นสิ่งที่ควรรู้กับพวกเราเลยครับ
Feel free to visit my homepage;Boonforal
ขอบพระคุณสำหรับเนื้อหาดีๆนะคะ ถือเป็นข้อมูลที่หาอ่านยากสำหรับพวกเราเลยทีเดียว
my page; Boonforal
ขอบพระคุณสำหรับข้อมูลที่มีประโยชน์ค่ะ
เป็นเรื่องที่น่ารู้สำหรับพวกเราเลยจริงๆ
Feel free to surf to my web page :: Boonforal
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ
ถ้าใครกำลังมองหาร้านจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
My web page … เปลี่ยนยางรถยนต์
บทความนี้ให้ข้อมูลมีประโยชน์มากครับ ถ้าใครกำลังมองหาร้านจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี
ๆ ครับ
Here is my website Portanapat
ชอบแนวคิดที่แชร์ไว้ในบทความนี้ครับ ถ้าใครกำลังมองหาร้านจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Also visit my blog post … portanapat.com
บทความนี้ให้ข้อมูลมีประโยชน์มากครับ ถ้าใครกำลังมองหาบริการจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ
ครับ
Herre is my web page :: ยางรถยนต์คุณภาพ
ข้อมูลเกี่ยวกับการปูพื้นและดูแลพื้นแบบนี้ช่วยในการตัดสินใจได้ดี
my webpage: ปูพื้น SPC กรุงเทพ
ขอบคุณสำหรับบทความดี
ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาบริการจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
my web site … ขายยางรถยนต์
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาผู้ให้บริการตกแต่งงานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
My page – Portanapat Tire
ข้อมูลเกี่ยวกับพื้นและการตกแต่งภายในนี้น่าสนใจมาก
Have a look at my website ปูลามิเนตคอนโด – Support.Roombird.ru,
บทความนี้ให้ข้อมูลมีประโยชน์มากครับ ถ้าใครกำลังมองหาร้านจัดดอกไม้งานศพผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Here is my webpage :: Portanapat Tire
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาร้านจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Alsso visit my homepage – เปลี่ยนยาง นนทบุรี
ขอบคุณสำหรับบทความดี ๆ ครับ ถ้าใครกำลังมองหาบริการจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Also visit my wweb page portanapat.com
บทความนี้ให้ข้อมูลมีประโยชน์มากครับ ถ้าใครกำลังมองหาบริการจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
My page: portanapat.com
ชอบแนวคิดที่แชร์ไว้ในบทความนี้ครับ ถ้าใครกำลังมองหาบริการจัดดอกไม้งานศพ ผมแนะนำลองดูร้านที่มีผลงานจริงและรีวิวดี ๆ ครับ
Have a look at my web-site – portanapat.com
{งานพื้นเป็นเรื่องสำคัญสำหรับบ้าน
คอนโด และออฟฟิศ ขอบคุณสำหรับข้อมูลครับ}
my web-site :: พื้น Vinyl – thompson-feddersen-2.blogbright.net,
อ่านแล้วได้ไอเดียเรื่องงานพื้นเพิ่มขึ้นเยอะเลยครับ
My blog: tpdecorate.com
ข้อมูลเกี่ยวกับการปูพื้นและดูแลพื้นแบบนี้ช่วยในการตัดสินใจได้ดี
my weeb blog – TP DECORATE Flooring Specialist
บทความนี้มีประโยชน์มาก
Visit my web page; tpdecorate.com
เนื้อหาช่วยให้เข้าใจเรื่องพื้น SPC ลามิเนต และ Epoxy ได้ดีขึ้น
Feel free to vijsit mmy website :: ปรับพื้นคอนกรีต
{งานพื้นเป็นเรื่องสำคัญสำหรับบ้าน คอนโด และออฟฟิศ ขอบคุณสำหรับข้อมูลครับ}
My blog: รับปูพื้น
{งานพื้นเป็นเรื่องสำคัญสำหรับบ้าน คอนโด และออฟฟิศ ขอบคุณสำหรับข้อมูลครับ}
Look at my website :: พื้นลามิเนต (Sundaynews.info)
เนื้อหาช่วยให้เข้าใจเรื่องพื้น SPCลามิเนต และ Epoxy ได้ดีขึ้น
My blog :: ประเมินหน้างานปูพื้นฟรี
บทความนี้เกี่ยวกับพวงหรีดดอกไม้ เป็นประโยชน์สุดๆ
โดยส่วนตัวเพิ่งจัดงานศพให้ผู้ใหญ่ในบ้าน การเลือกดอกไม้งานศพเลยเป็นเรื่องที่ต้องใส่ใจ
ใครที่กำลังเตรียมตัวจัดงานศพให้คนสำคัญควรอ่านจริงๆ
Feel free to surf to myy web site แพ็กเกจจัดงานพิธีศพ