Công thức giải nhanh cấp số cộng
Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d
Giải thích:
- Kí hiệu d được gọi là công sai
- Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
- Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.
+ Tính chất:
Ví dụ:
Dãy số 3;6;9;12;153;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:
6=3+39=6+312=9+315=12+36=3+39=6+312=9+315=12+3
Đây là CSC có công sai d=4d=4 và số hạng đầu u1=3u1=3.
2. Số hạng tổng quát
un=u1+(n–1)d,(n≥2)un=u1+(n–1)d,(n≥2).
d=un−u1n−1d=un−u1n−1.
Ví dụ:
Cho CSC (un)(un) biết u1=−1,d=3u1=−1,d=3. Tìm u20u20.
Ta có:
u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56
3. Tính chất
4. Tổng nn số hạng đầu
Bài tập cấp số cộng minh họa
Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giảiDựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.
Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn giải
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm
Phân dạng bài tập cấp số cộng
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.
Bước 2: Kết luận:
- Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.
- Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.
Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng
Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d
Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên
Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.
Bài tập cấp số cộng
Bài 1. [Đề tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2–u1=6
Bài 2: [Đề thi thử toán 2021 sở GD Hà Nội] Cho một CSC có u1=–3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giải
u6=27⇔u1+5d=27⇔–3+5d=27⇔d=6
Bài 3: [Đề thi thử toán 2021 Chuyên PBC] Cho một CSC có u1=13;u8=26 Tìm d?
Hướng dẫn giải
u8=26⇔u1+7d=26
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.
3. Tính S=u4+u5+…+u30.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100=u1+99d=–295
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
1. Xác định công sai?
2. Tính tổng S=u5+u7+…+u2011
Hướng dẫn giải
1. Ta có:
Cách để Tìm tổng của cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.
Đánh giá cấp số cộng của bạn
Cần biết chắc là bạn có một cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số liên tiếp, trong đó sự sai khác giữa các số hạng là hằng số. [1] Phương pháp này chỉ đúng khi dãy số của bạn là cấp số cộng.
- Để xác định liệu bạn có cấp số cộng hay không, hãy tìm sai khác giữa vài số hạng đứng đầu dãy số và giữa những số hạng đứng cuối dãy số. Đảm bảo sai khác đó không thay đổi.
- Ví dụ, dãy số 10, 15, 20, 25, 30 là một cấp số cộng vì sai khác giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.
Tính số số hạng trong cấp số cộng
Mỗi số trong cấp số cộng được gọi là số hạng. Nếu chỉ có một vài số hạng thì bạn có thể đếm. Mặt khác, nếu bạn biết số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng và công sai (sai số giữa mỗi số hạng), bạn có thể dùng công thức để tính số số hạng. Hãy đặt số số hạng phải tìm là biến số {displaystyle n}
.
- Giả sử nếu bạn tính tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 thì {displaystyle n=5}
, vì có 5 số hạng trong cấp số cộng.
Xác định số hạng đầu tiên và cuối cùng của cấp số cộng
Bạn cần biết cả hai số hạng này để tính tổng cấp số cộng. Thường thì số hạng đầu tiên sẽ là 1 nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Hãy đặt biến số 
là số hạng đầu tiên của cấp số cộng và 
là số hạng cuối của cấp số cộng.
- Chẳng hạn, trong cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30,
, và 
.
Tính tổng
Viết công thức tính tổng cấp số cộng
Công thức sẽ là:
trong đó {displaystyle S_{n}}
là tổng của cấp số cộng.[2]
- Chú ý là công thức này cho biết tổng cấp số cộng bằng trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối nhân với số số hạng.
Thay các giá trị của n, a1, và an vào công thức
Đảm bảo bạn thay số chính xác.
- Ví dụ, nếu bạn có 5 số hạng trong cấp số cộng, 10 là số hạng đầu, và 30 là số hạng cuối, công thức sẽ như sau:
.
Tính trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối
Để làm phép tính này, bạn hãy cộng hai số trên và chia cho 2.
- Ví dụ:
Nhân trung bình cộng của hai số với số số hạng trong dãy số
Bạn sẽ được tổng của cấp số cộng.
- Ví dụ:
Như vậy, tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 là 100.
Hoàn thành các bài toán mẫu
Tìm tổng của các số từ 1 đến 500. Hãy coi các số này đều là số nguyên liên tiếp.
- Xác định số số hạng () trong cấp số cộng. Vì ta đang coi là dãy số nguyên liên tiếp đến 500 nên
. - Xác định số hạng đầu () và số hạng cuối () trong cấp số cộng. Do cấp số cộng là dãy số từ 1 đến 500 nên
và 
. - Tìm trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
.
- Tìm số số hạng () trong cấp số cộng. Vì số hạng đầu bạn có là 3, số hạng cuối là 24 và mỗi số cách nhau 7 đơn vị, nên dãy số sẽ là 3, 10, 17, 24. (Công sai là sai khác giữa mỗi số hạng trong cấp số cộng). Điều đó có nghĩa là
- Tìm số hạng đầu () và số hạng cuối () của cấp số cộng. Vì cấp số cộng là dãy số từ 3 đến 24 nên
và 
. - Tính trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
.
Giải bài toán sau đây
Mara tiết kiệm 5 đô la trong tuần đầu tiên của năm. Trong khoảng thời gian còn lại của năm, cô ấy tăng số tiền tiết kiệm hằng tuần thêm 5 đô la mỗi tuần. Hỏi đến cuối năm Mara tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
- Tìm số số hạng () trong cấp số cộng. Vì Mara tiết kiệm trong 52 tuần (1 năm) nên
. - Tìm số hạng đầu () và số hạng cuối () của cấp số cộng. Số tiền tiết kiệm ban đầu là 5 đô la, vậy
. Để tìm số tiền tiết kiệm vào tuần cuối cùng trong năm, ta làm phép tính 
. Vậy 
. - Tính trung bình cộng của và :
. - Nhân trung bình cộng với :
. Như vậy, đến cuối năm, Mara tiết kiệm được 7.046 đô la.
Các công thức liên quan đến cấp số cộng
Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể
– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:
ak = a + (k-1)d.
– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.
Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:
Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai] + 1
Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số
Phương pháp:
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b.
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac = 
– Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua 
– Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua
Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:
– Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
– Sử dụng tính chất của cấp số:
i) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b
ii) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN ac =
Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số
Phương pháp:
i) theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b
ii) theo thứ tự đó lập thành CSN ac =
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)
