Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và bài tập

Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và bài tập

Bài viết hôm nay, Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ giới thiệu đến các bạn công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và nhiều dạng bài tập thường gặp. Hãy dành thời gian tìm hiểu để nắm chắc hơn chuyên đề Hình học 12 vô cùng qua trọng này bạn nhé !

I. CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

• BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC
• CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

• c² = a.c’ (AB² = BH.BC)
•  b² = a.b’ (AC² = CH.BC)
• h² = b’.c’ (AH² = CH.BH)
• b.c = a.h (AB.AC = AH.BC )
• 1/h² = 1/b² + 1/c² (1/AH² = 1/AB² + 1/AC²)
• b² + c² = a² (AB² + AC² = BC²)(Định lý Pytago)

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a. Định nghĩa

• sinα = cạnh đối chia cho cạnh huyền
• cosα = cạnh kề chia cho cạnh huyền
• tanα = cạnh đối chia cho cạnh kề
• cotα = cạnh kề chia cho cạnh đối

b. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

c. Một số hệ thức cơ bản

d. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn α, ta có:

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

• sinα < sinβ; tanα < tanβ
• cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

3. Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

a. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
• Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

• b = a.sinB = a.cosC
• c = a.sinC = a.cosB
• b = c.tanB = c.cotC
• c = b.tanB = b.cotC

4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác:

Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

Lưu ý:

• Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)
• Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

II. CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

1. Định lý Cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

• a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
• b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;
• c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả:

• Cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc
• Cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac
• Cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

2. Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kể, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta có :

a /sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ngoài ra, những bạn nên tìm hiểu thêm thêm công thức lượng giác chi tiết cụ thể tại đây .

3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài những đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

• ma2 = [2(b2 + c2) – a2]/4
• mb2 = [2(a2 + c2) – b2]/4
• mc2 = [2(a2 + b2) – c2]/4